2、欧几里得空间的剖分及区域类型
2.1欧几里得空间的剖分
这里不考虑爱因斯坦式的时-空联系,而只分析欧几里得--笛卡尔式的整个刚性三维空间(以下简称全空间)被平面或曲面剖分为各种区域的情形。
图2.1.
a.全空间中任1个平面将全空间剖分为对等的2个区域;其投影如上图左;
b.任2个互不平行的平面将全空间剖分为两两对等的4个区域;设这2个平面之间的夹角为α,则这2对区域所占空间大小的比例为α/(π-α);其投影如上图中;
c.互相平行的2个平面将全空间剖分为3个区域:对等的2个区域加上中间1个无穷大但厚度(等于两个平面之间的距离)有限的“饼”状区域;其投影如上图右;
d.互不平行的3个平面将全空间剖分为两两对等的8个区域;立体直角坐标系将全空间剖分为8个卦限就是一个特例;
但若3个平面两两之间的3条交线互相平行而不共面、不重合,则这3个平面将全空间剖分为7个区域,是3对对顶的二面角及1个无限高的三棱柱;其横截面(投影)如下图左;
图2.2
e.互不平行的4个平面,若不交于同一点,将全空间剖分为两两对等的14个区域围绕1个四面体,其中4对对顶的三面角、3对对顶的四面角(分别对应于四面体的4个面、4个顶点和6条棱);
f.1个射圆锥面(无限高)将全空间剖分为2个区域,其中之一具有圆锥形正截面,占据全空间的一定比例(依该射圆锥面的张角而定,具体数量见下文所述);另一个则占据全空间的其余部位;其示意如上图右;
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表4:三维空间被平面、半平面、曲面(锥面)剖分的结果
用来剖分空间 的面(边界) | 剖分出的区域数量 | 剖分出的 区域类型 | 在参考球面上 区域的投影 |
1个平面 | 2 | 1/2全空间 | 1对半球形(特殊的球面二角形) |
1射圆锥面 | 2 | 全空间的一定比例 (依锥面张角而定) | 球面小圆形 |
2平行平面 | 3 | 2个半无限空间及 1个二维无限区域 | 2个球冠及 1个环带 |
3个半平面 | 3 | 全空间的一定比例(二面角) | 3个球面二角形 |
2互不平行平面 | 4 | 2对球面二角形 | |
3互不平行平面 | 8 | 全空间的一定比例(三面角) | 3对球面三角形 |
7 | 若其3条交直线互相平行,则剖分出3对两两对顶的二面角及1个一维无限区域 | 3对球面二角形及2个似球面三角形或无穷小点 | |
4互不平行平面(且若其6条交线不交于同一点) | 15 | 7对两两对顶的三面角 (全空间的一定比例) 及1个四面体 | 7对球面 三角形 |
5个以上互不或不全平行的平面 (参见4.9) | 一般多于16个 | 多对两两对顶的三面角 (全空间的一定比例)及2个以上多面体 | 多个球面 三角形等 |
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