“数学课程标准”核心词的实践解读之 —— 模型思想（下） 曹培英
按照广义的数学模型解释，小学数学的学习与模型思想的培养，存在普遍的契合点，几乎每个知识，都能和建模扯上联系，纳入建模教学。 我国大学的数学教育，关于建模教学已有多年的实践与经验教训的积累，前车可鉴。请看一位中科院院士的告诫：“如果对每一个概念、每一个公式，都要先讲它们的数学模型，讲它们的来龙去脉，并作为一个模式，不得越雷池半步，这不仅不可能、不必要，而且更是要不得的。”一方面，数学除了从它的外部，获得最初的来源和发展的原动力之外，还能从解决数学内部矛盾的需求那里获得动力，凭借抽象的数学思维，大踏步地向前推进。另一方面，“文化大革命”中，片面强调理论联系实际，“以典型产品带动教学”，处处充满了实际问题的例子，教师难教，学生难学，效果很不理想，应该引以为戒。“因此，在强调将数学建模精神融入数学类主干课程的时候，我们不应该采取形而上学的思维方式，简单地在所有的概念或命题之前都机械地装上一个数学建模的实例，把一个完整的数学体系变成处处用不同的数学模型驱动的支离破碎的大杂烩。”当然，小学数学教学有它的特殊性，最主要的是它需要更多地依靠生活经验与几何直观。尽管如此，上述真知灼见，还是值得我们借鉴的。首先，建模思想再重要，也应具体内容具体处理。一刀切、模式化，难免流于形式，出现异化。其次，数学的外部来源与内部发展动力，都是小学数学教学需要关注的，都应被我们纳入教学思考的视野。以负数的引入为例，曾经一度只讲现实生活的原型，似乎负数就是为了表示具有相反意义的量。而且不论是否确切，拿来就用。例 如，某球队上半场进了2个球，下半场失了2个 球，记作+2与-2，就颇为牵强。因为对于一场比赛来说，这种情况记作2∶2。只有当两队各场比赛的积分相同，为区分胜负而计算净胜球时，进 2 球与失 2 球才具有+2 与-2 的数学意义。现在，已经有不少教师认识到了还有必要向学生揭示解决数学内部矛盾的需要。例如，已知5－3＝2，5－5＝0，那么5－7＝？不少学生已经知道5－7＝-2，也有学生通过类推得出这一结果。他们还常常借助生活经验作出自己的解释“欠2”。尽管目前小学数学不教学正负数运算，但可以在引进数轴之后给出图示（如下图），直观显现类推过程，使学生确信5－7的差为-2是合理的。这样，在小学阶段就能使学生看到：有了分数，整数除法（除数不为0）就能通行无阻；有了正负数，小数减大数也能进行运算了。从而初步感悟数系发展的原动力，形成一个较为完整的认知结构。然而，对于数学教学来说，强调从数学的外部、内部两方面来诠释数学知识的来源，与强调展现数学知识的现实来源一样，都不应奉为不可逾越的“典律”，而排斥例外。为了兼顾小学生的认知特点与知识基础，在小学数学教学过程中，新知识生成方式的多样化，既是必要的，也是可能的。首先，从能否基于现实原型引进新知识来看，存在两种比较极端的典型情况。其一，有些数学知识，限于小学生的知识水平，尚不具备从数学内部揭示其来龙去脉的条件，只能联系现实原型加以讨论。例如，正、反比例的概念，只有到了中学，学生才能理解它们分别是一次函数、负一次函数的特例。因此，在小学阶段，从它的实际来源引入是明智的选择。类似地，比的概念也适合借助现实背景来展开教学。小学数学教材一般都将比的概念描述为“两个数的比表示两个数相除”，同时介绍比的两种书写形式，即写成比的形式或分数形式。由此，常常有学生质疑：为什么有了除法、分数，还要学习比呢？多数教师以三者的区别“除法是一种运算，分数是一个数，比是两个量之间的关系”向学生解释，实在有些答非所问。如果利用现实原型，将比拓展为连比，就可以非常浅显地凸显比的优势，使学生释疑。例如，配制一种混凝土，下图表示所用材料的份数。这种混凝土的三种材料是按怎样的比配制的？在解答这一实际问题的过程中，比较自然地生成了连比2∶3∶5。它能让学生体会到，除法与分数，适用于研究两个量之间的倍数（份 数）关系，而三个量之间的倍数关系，至少要两个除法或分数来表示，引进了比，三个甚至更多个量之间的倍数关系，都能一目了然地加以表示。其二，也有一些数学知识，纯属数学内部的规定，不需要从数学外部引入。例如，四则运算“先乘、除，后加、减”的运算顺序，是为了保证运算结果的唯一性所作的人为规定。试图通过创设实际问题情境来引入这一规定，并以解决实际问题的需要来说明如此规定的合理性，实在是徒劳的。因为同时还存在很多实际问题，需要“先加、减，后乘、除”。所以，作出“先乘、除，后加、减”的规定之后，还要引进括号，以满足“先加、减，后乘、除”的需要。又如，除数不能为 0 的规定，有教师想方设法运用建构主义的两大策略技术“情境”与 “对话”，启发学生建构规定的意义—第一天，小巧带去了6个苹果，出来了3只小动物，平均每只小动物可以得到几个苹果？情境继续：第二天，小巧没有带去苹果，3只小动物平均每只可以得到几个苹果呢？这是学生遇到的新问题，借助情境，不少学生很快类推出算式 0÷3。那么，0÷3 等于多少呢？学生也能依靠生活经验，推知0÷3＝0。至此，情境与对话都是有效的。教师再次演绎情境“链”：第三天，小巧带了6个苹果，可是等了很长时间，没有小动物来……当时，我还在思考省略号的“葫芦”里藏着什么“药”，学生已经迫不及待地嚷起来：“那当然了，谁叫你昨天骗了人家……”显然，情境富有童趣，孩子们的反应比我快。可是，后面的对话，令人啼笑皆非。教师一边去掉省略号，将叙述变成“没有小动物来，分就没有意义了”，一边说：“所以，6÷0没有意义。”教师的结论，出乎学生意料，教室里安静了下来。没多久，一位学生提出质疑：“老师，第二天小巧不带苹果去，分空气，也没有意义呀？”这下教室里热闹了。教师的解释“0÷3可以等于0，6÷0等于几都不对”，学生根本听不进去，也听不懂。又有一位学生质疑：“小巧骗人，不带苹果去，可以用0代替6，小动物不上当，为什么就不能用0代替3了呢？”教师无奈，只好说：“这是数学家的规定。”课后，还有学生七嘴八舌替小动物抱不平：“数学家不讲道理”“数学家帮助小巧骗人”。真是童言无忌。事实上，规定除数不能为 0 的合理性，需要在数学内部分两种情况说明：因为除数×商＝被除数，所以当被除数≠ 0，除数＝0时，商不存在；当被除数＝除数＝0 时，商不确定。因此，即便学生相信教师的权威说法“没有小动物来，分就没有意义了”，不再质疑，也只是“解释”了一种情况。可见，面对儿童，解决数学内部的矛盾，无论多么艺术的情境、多么充分的对话，都有可能无济于事。其次，对于那些从数学外部、内部引进都可行的知识，孰先孰后，同样不宜一概而论。有一些数学知识适合先从现实原型引入，然后从数学内部揭示生成该知识的原动力。例如，分数概念，先从物品的等分或测量的需要引入，再教学分数与除法的关系。个别教师曾经尝试翻转这一教学的“序”，直接从除法引进分数，而后再讲“1”的等分，实践效果不尽人意。原因何在？文化使然。因为 2/3 我们习惯读作“三分之二”，而不是“二除以三”。几千年来形成的汉语表达习惯是根深蒂固的，是难以撼动的。也正由于这一主要原因，教学分数与除法的关系，相对来说，成了我们的一个难点。也有些数学知识适合先在数学范围内讨论，然后应用于解决实际问题。例如，求两个数的最大公因数与最小公倍数，以及解方程，等等。以解方程的教学为例，从数学外部的现实情境引入，就必须先解决由实际问题抽象出数学模型的难点，再研究怎样解方程，重点、难点集中于一节课。为降低教学难度，先学习解方程，再讨论列方程，不失为一种分散难点“各个击破”的处理方式。显然，抛开教条主义、形而上学等理论批判，仅从教学实践视角，也不难达成共识：多一条可选路径，总比一条道走到黑更机动、更灵活。我们针对小学数学最为基础、最为核心的教学内容“四则运算”的概念，作了引入情境系列化设计的尝试。小学数学“四则运算”的引入，历来会给出现实情境，以帮助小学生调动生活经验，体会运算的含义。可以说，既有广义的数学模型内涵，也有模型思想的渗透。以往的实践还告诉我们，加、减法的引入情境，设计为同一题材（如下图），有助于学生直观感知加、减法之间的联系。再进一步，乘、除法之间的联系，加法与乘法、减法与除法之间的联系，能否通过同一题材不断发展变化的情境设计，提高学生的感知效果呢？加法，以“小猴摘桃”为原型：第一次摘 3 个，第二次摘2个，一共摘了几个桃?减法，以“小猴分桃”为原型：摘了5个，分给弟弟2个，还剩几个桃?乘法，以“小猴摘桃”为原型：每次摘3个，摘了4次，一共摘了几个桃?除法，以“小猴分桃”为原型：摘了 12 个，每只小猴分3个，可以分给几只小猴？教学实践表明，改变现实模型“处处不同” “支离破碎”的现象，带来了实质性的效果，学生的认识有了提升。加法与乘法都是“合”：各部分不一样多，用加；各部分一样多，用乘。减法与除法都是“分”：各部分不一样多，用减；各部分一样多，用除。特别是从“加”到“同数连加”，从“同数连加”到“同数连减”的过程，通过动画演示，给学生留下了深刻的印象。道理很简单：同一题材的情境便于比较，有利于直观呈现期望学生感知的数学事实，有助于学生感悟其中的内在联系。以同数连减的引入为例：首先再现乘法的原型，并复习乘法的意义。然后给出小猴分桃问题，让学生用学具模拟给小猴分桃。交流时，教师用课件展现“分”的操作，使形象的、动态的同数连减过程，直观、生动地呈现在学生面前（如下图）。将同数连减与同数连加对照，引出与乘法“相反”的新运算“除法”：3＋3＋3＋3＝12←→12－3－3－3－3＝0 3×4＝12←→12÷3＝4 想：12每次减去3，可以减4次，也就是12里面有4个3。上述改进的教学效果获得了公认，但对其归因，则各有各的说法。不少教师认为，这与其说是建模教学的突破，不如说是运算概念教学的改进。确实，大可不必将每一项改进都套上一顶新帽子。但上述改进更好地体现了模型思想，大家还是认同的。按照狭义的数学模型解释，建模教学应当让学生经历从建模准备到模型应用的全过程，这在小学有一定的困难，因而数学建模的专题教学一直是小学数学的弱项。要有所突破，首要的瓶颈是问题设计。适宜的问题至少需要满足以下要求：④ 是学生第一次遇到的新问题且有别于常规的实际问题；试举一个基本符合这些要求的实例：“运动总成绩的排序问题”。以五人小组为单位记录各人 50 米跑、投实心球、立定跳远三项运动的成绩。找到一种计算方法，确定组内三项运动总成绩的名次。建模准备请体育老师配合，利用校内体育活动时间，组织学生分别完成三项运动的测试。方案一：将各项运动成绩排序，按名次依次计5～1分（也有的依次计 4～0分），分别计算各人三个分数的和（总分），按总分从大到小确定总成绩的名次。方案二：将各项运动成绩排序，分别把各人的三个名次相加，按名次的和，从小到大确定总成绩的名次。方案三：各项运动的金、银、铜牌依次计4、 2、1分（或计3～1分，也有的给3～1颗星），第 4、5名计0分（或没有星）。分别计算各人三个分数的和（或星的总数），按总分（或星的总数）从大到小确定总成绩的名次。想到方案三的小组，有的出现了总成绩名次并列，并愿意接受；有一小组不愿接受并列，于是重新调整方案，给单项第4名计0.5分，消除了并列。还有个别小组，将各项运动成绩排序后，通过观察名次，讨论商定总成绩的名次。通过交流、总结，学生对数学建模的全过程，对同一问题建模方法与结果的多样性，有了一个初步的认识。对照上述数学建模问题的六点要求，“运动总成绩排序问题”的现实模型是小学生比较熟悉的，建模信息需要体育老师帮助但不难获取，建模只用到了加法与比较数的大小等最基本的数学知识，将三个名次汇总成一个总名次是学生第一次遇到的陌生问题，解决问题的方法及答案都不唯一，绝大多数学生对这一与自己有关的问题表现出很高的热情。同时满足诸多要求的建模问题原来可以如此简单。也有教师质疑：解决“运动总成绩排序问题”，学生并没有“采用形式化数学语言”得出一个数学计算公式，这是数学建模吗？更多教师认同如下解释：学生想到的计算方案，其实质都是“具体事物系统的数学关系结构”，因此都可称之为数学模型。至于形式化的数学表达，可以根据其难度与学生的实际情况，因内容、因人而异，不宜作统一要求。事实上，当学生完成总成绩排序后，教师再提议“设每人获得单项第1名、第2名……第5 名的次数为 a、b、c、d、e，写出你的计算方法”。多数小组能够列出代数式，如：实践还表明，如果在建模指导语中明确提出“用字母表示计算方法”的要求，则有学生感到无从下手，且明显影响方案的多样性。也有教师借鉴这一原创问题，改编成供学有余力的学生独立完成的选做题：练习效果同样不错。只是教师提供了各项运动的成绩记录单，学生缺少了“建模准备”的体验。除了自行开发建模问题，也可以选择教材上的一些现成内容，开展数学建模的专题教学。例如，人教版教材中的“烙饼问题”（如下图）。如果不拘泥于一定要有“建模准备”环 节，就是一个理想的建模问题。当安排在“用字母表示数”单元之后教学该问题时，多数学生能够抽象出烙 n 张饼最少时间的数学模型是“3n 分钟（n 是大于1的整数）”。进入模型检验环节时，几次听到学生质疑：烙3张饼最优过程的第2次（如下图），有一张 饼 只 烙 了 一面就拿走，岂不半 生 不 熟 ？有的 教 师 说 这 是数学问题，不考虑细节；也有的教师说这是数学的抽象，抽象包括简化，还举了汽车速度的例子，我们只研究现实生活中并不存在的“匀速”。这些基于数学学科特点的回答都言之有理，但都忽略了非常重要的一点：肯定学生的质疑，并且承认探究得到的是一个近似结果。因为对于数学建模来说，检验模型是否符合实际是必须认真对待的，绝不能走过场。以“烙饼问题”为例，如果真的每3张饼有1张夹生，这个数学模型能用吗？当然，有烙饼经验的教师还可以回答得更好些，即在指出最优结果具有近似性的同时，启发学生或直接告诉学生解决办法：将本该拿走的那张饼叠放在 1 号饼上面，留在锅内保温。为什么这样回答更好？仅仅是因为它能使学生感到有趣，获得意料之外、情理之中的感受吗？不，因为这样回答，旨在启发学生明白一个非常朴实的道理：解决烙饼问题离不开烙饼经验。推而广之，某一领域的数学建模，该领域的专业知识与相关的数学知识几乎同等重要。这也是前面将“现实模型是小学生比较熟悉的”列为设计建模问题第一要求的原因之一。“烙饼问题”进入人教版教材已经十多年了，很多使用其他版本教材的教师也被吸引，将该问题充实到自己的教学中。略有遗憾的是，迄今的教学，多数满足于解决问题、建立模型，鲜见有教师提出关键性问题让学生思考：② 探究了3张，单数张还要探究下去吗？这两个问题也可以归并成一个问题：为什么题目只要我们研究 3 张饼？突出关键性问题，学生的探究思路、探究成效，都有显著改观。如果学生基础较好，“烙饼问题”还有进一步的类推空间：当每次最多只能烙2张饼时，2，4，6，……张饼不用研究；只要研究 3 张饼，然后 5＝3＋2，7＝3＋ 2＋2，9＝3＋2＋2＋2，……都解决了。当每次最多只能烙3张饼时，3，6，9，……张饼不用研究；需要研究 4 张饼，然后 7＝4＋3，10＝4＋ 3＋3，13＝4＋3＋3＋3，……；5张饼，然后8＝5＋3，11＝5＋3＋3，14＝ 5＋3＋3＋3，……都解决了。这其中蕴含的更一般的数学规律（或者说研究思路）是什么呢？我们的实践表明，可以在此基础上启发学生思考“张数的分类标准”：当每次最多只能烙2张饼时，我们把大于等于2的张数分成了两类，当每次最多只能烙3张饼时，我们把大于等于3的张数分成了三类，你能发现，它们是按照什么来分的吗？几乎每个班都有学生能够联系已有的“整数除法的余数”知识加以说明：每次最多只能烙 2张饼时，分成除以 2余 0、余1两类；每次最多只能烙3张饼时，分成除以3余0、余1、余2三类。还没有教学数的整除，“同余类”的概念已经呼之欲出了。在这个案例中，数学的“结构化”表现为“分类”，不仅探索的过程以分类讨论为佳，结果的表达也要用到分类。最少时间的数学模型，其实是一个分段函数。设n 为正整数，则 而数学的“一般化”则体现在“同余类”的概念上。“结构化”与“一般化”两者浑然一体，它们的认知价值与教学效果，毋庸置疑。正是基于此类教学实践，笔者在上文中特别指出，模型思想蕴含“结构化思想”与“一般化”思想。以上分析还给了我们一个启示：似乎存在比数学建模更上位，更具有根本意义的东西，那就是数学的思想方法、数学的活动经验。如 “烙饼”案例中的化归（转化）思想和推广结论的过程性经验。开展建模专题教学，要求学生能够透过现实模型，抽象出它的数学意义，从而与相关数学知识建立起联系。为此，应当立足平时的教学，经常有意识地引导学生用数学的眼光去观察周围的事物。例如，低年级解决实际问题：小朋友们排队，从前往后数，小明是第10个，从后往前数，小明是第 6 个。一共有几个小朋友在排队？学生必须读出“第 10”与“第 6”都包括了小明在内。又如，中年级观察双杠的四根“脚”（铁 柱），假设四脚都垂直 于 地 面（如 右图），一共可以数出几 对 互 相 平 行 的“脚”？学生往往首先想到前后左右的两个“脚”（4对）互相平行；继续观察，多数学生还能发现左前与右后的两个脚、右前与左后的两个脚也分别平行（一共6对）。再如，高年级研究正方形花圃边长的变化导致周长变化的规律，学生应有的反应，就是联想到正比例的概念，作出正方形边长与周长成正比例关系的判断。可见，所谓“用数学的眼光去观察周围的事物，抽象出它的数学意义”，就是从实际事物中发现蕴含其中的数量关系或空间形式。这样的“数学眼光”是完成数学建模不可或缺的能力基础，需要日积月累地逐步培养。如前所述，数学建模是一种特殊的问题解决。而要基于实际需要，选择相关的数学知识，灵活地加以应用，就必须理解有关的数学基础知识，掌握有关的数学基本技能。这同样需要通过平时教学奠定基础。例如，绘制实物模型的设计图，基于正反比例概念的理解，才能选择适当的比例尺，并确定数学模型：又如，当要求学生用“形式化的数学语言，概括表达数学模型”时，列综合算式就是经常用到的基本技能。举例来说，购买粮油的总价模型，假设由大米、面粉、食油三部分组成，则总价＝大米单价×大米数量＋面粉单价×面粉数量＋食油单价×食油数量。显然，它已超出了混合运算“不超过三步”的标准。这在小学还可以避免，如将总价模型限定为由两种商品构成。但进入初中，混合运算不超三步是绝对不行的。比如，《义务教育数学课程标准》(2011年版)附录2中的例56：某书定价8元。如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。设购书x 本，付款y 元，则 y＝8×10＋(x－10)×8×80%( x≥10)。写出这一解析式，五步混合运算必须综合成一个式子。因此，在小学掌握列综合算式的技能是进一步学习数学建模必不可少的基础。（4）与符号意识的培养和方程、函数思想的渗透相结合我们知道，数学语言有三种常用的表现形态，即文字语言形态、符号语言形态、图形语言形态。在小学数学中，随着年级的升高，总体上呈现文字语言形态逐步减少，符号语言形态逐步增多的趋势。同样，在数学建模过程中，应当不失时机地提醒那些有能力的学生，尝试用符号语言建构、表达模型。方程和函数在研究和构建现实世界的数量关系模型方面，发挥着不可替代的作用。小学数学中的数学模型，从常见数量关系到周长、面积、体积计算公式，再到正、反比例表达式等，都直接或间接体现着方程思想、函数思想。因此，将数学建模教学与符号意识的培养和方程、函数思想的渗透相结合，既是自然的，也是必要的。为了顺应儿童的思维特点，小学数学的建模教学应当充分运用几何直观，并重视表达、交流过程中语言描述能力的培养。这既是切合学生实际的，也是行之有效的。例如，长桌宴是苗族宴席的最高形式与隆重礼仪，已有几千年的历史。用每边坐2人的方桌拼成长桌：要坐下100人，需要多少张方桌拼成一行长桌？要坐下1000人呢？看表，学生一眼就能发现规律：每增加 1张方桌，可多坐4人。但难以找出方桌张数与可坐人数间的数量关系。让他们自己画出图示（如右图），则很容易得到数量关系的各种变式，如，总人数＝方桌张数×4＋4，方桌张数＝(总人数－4)÷4等；并能用自己的语言说明算理，如，总人数减去两头 4 人，得到两边人数，每张方桌两边共坐4人，所以再除以4，就是方桌张数。学生的语言描述表明他们是通过看图寻找出算法，而不是根据数列规律推出算法。由 此，几何直观和语言描述在建模中的作用，可见一斑。值得一提的是，与“长桌宴问题”异曲同工的“周长”问题：把完全一样的梯形如下图拼起来，当周长是100厘米时，一共有多少个梯形？学生的通过率明显下降，而将梯形解释为课桌，将“厘米”换成“人”后，通过率与又接近“长桌宴问题”了。显然，建模问题的现实情境起到了帮助理解的作用。这一方面说明，只有情境没有图示或只有图示没有情境，都有可能造成建模障碍；适当的现实情境与几何直观，即生活经验的激活与视觉观察，可以相辅相成。因此，预估建模问题的难度，或者说适切性，需要具体问题具体分析，需要实践检验。另一方面也在提醒我们，不应低估小学生的建模潜能，小学数学建模教学的未知空间，等待着我们去探索、去开发。 （上海市静安区教育学院）
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