【人人都能欣赏的数学证明】为什么三角形的三个内角相加是180度？

职业数学家在民间

第一期：为什么有无限多个素数？

一、三角形的三个内角相加刚好是180度？

首先，先来介绍一下角度的概念：

角度，是指直线绕自身的一个固定点转动的量，用记号∠表示

比如上图的三个角分别记为∠1，∠2，∠α。

我们把转动一周的角度，也就是周角(如上图所示)，定为360°(360度)。半周角，也就是平角，是180°：

直角是平角的一半，也就是90°：

角度也可以相加，就是将两个角拼成一个角：

我们今天要介绍的是平面几何中最著名的定理之一：

三角形的三个内角和等于180°。

如何用最少的知识和概念向公众讲解为什么三角形的三个内角相加是180°非常考验我们。

二、预备知识，两个公理

无论采取什么方法证明，平行的概念似乎都是避免不了的。

两条不同直线，无论如何延长都不会相交，则称为互相平行的。

关于平行线，有一个非常直观的公理：

第一条公理：过已知直线(下图蓝线)外的一点(下图红点)，只有唯一的一条直线与已知直线平行

在数学中，有极少数的知识是非常显然，不证自明的(比如两点之间线段最短，比如上面这个公理)，我们可以将其作为公理直接接受，再从这些公理出发，推导出更复杂的知识(定理和命题)。

好了接下来我们要介绍第二条公理：

第二条公理：下图a和b是两条平行线，直线f(绿线) 与直线a，b分别相交于点A，B，则∠1=∠2；∠3=∠4。(简称：两直线平行，内错角相等)

这个公理也非常直观，大家也可以直接接受。实际上如果取线段A，B的中点O，让整个图形围绕O点旋转180°(如下图)

那么旋转后，点A和点B位置对调，直线a与直线b 位置也会对调，所以∠1和∠2，∠3和∠4在旋转下是重合的(注意比较旋转前后的图形)

理解了这两个公理，接下来的证明就非常简单了！

三、证明非常简单

定理：三角形的三个内角相加等于180°

任意给你一个三角形，如何证明三个内角相加是180°呢？有了上面的预备知识，证明就非常简单了，只需要一条辅助线就能搞定。

证明：根据第一条公理，我们可以过点A做一条直线(下图蓝线)平行于直线BC。

根据第二条公理，

(回忆一下第二条公理：两直线平行，内错角相等)

在上图中，∠2=∠5；∠3=∠4。所以这个三角形三个内角相加等于∠1＋∠2＋∠3=∠1＋∠4＋∠5。我们注意了∠1，∠4，∠5这三个角在蓝线A点处刚好拼成180°

证明完毕

四、考考你

在平面几何中，把哪个知识点设为公理是有很大的任意性的。比如第二条公理(两直线平行，内错角相等)在许多教科书中都由“两直线平行，同位角相等”的公理推导出来的。

现在要考考读者，能否用第一条公理，和下面这条公理

第三条公理：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

推导出第二条公理。

(提示，旋转和对称)

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