2048游戏引出的数列问题

最近，2048小游戏非常火爆。此游戏的得分规则这样的，一次操作合成多少分，即得多少分，或者说总得分就增加多少分。如利用两个2合成一个4，即得4分，总分即增加4分；用两个4合成一个8，即得8分，总分即增加8分；若同时合得一个4和一个8，即得12分，总分即增加12分。不难证明，此游戏只能合出形如

的诸数，式中n为自然数。现在的问题是，假定在游戏中每次送出的数字都是2（实际中有时会偶尔给出数字4），那要合成2048，至少需要得多少分呢？

设要合成数

，至少需要拿

分；要合成

数，至少需要拿

分。由于合成一个

，至少需先合成两个

，故

                         （1）

令 

                       （2）

且 

                            （3）

将（2）式代入（3）式再联立（1）式整理可得：

                             （4）

由（4）式可得

                           （5）

由（3）式可得

                               （6）

将（2）代入（6）式得

将（5）式以及

代入上式整理可得

                                （7）

因为

，所以要合成2048，至少需拿

  分

（7）式也可由数学归纳法导出。

由得分规则及合成过程不难算出合成4、8、16、64等，至少需拿4、16、48、256分。不难看出后者恰好是前者的1、2、3、4倍，因此很容易猜想到（7）式。猜出（7）式后，结合（1）式，运用数学归纳法即可证明（7）式对所有的自然数成立。

后记：在合成了2048后，发现得分超过了2万，由此也就引出了本文所探讨的问题。开始时并没有想到用数学归纳法，因为由得分规则一下就可导出（1）式。由（1）式不难看出，虽然

不是一个等比数列，但若在其基础上插入一个适当的数列应当可以得到一个比值为2的等比数列。考虑到（1）式中尾加项

是一个比值为2的等比数列，我就尝试着引入了数列

与

。在导出了（5）后，一眼就可看出，若令

，则

。将前者代入到（2）式并结合

，可得

。将

代入到（3）或（6）式，可得

，进而也就导出了（7）式。然而这样导出（7）式总觉得有点不自然，感觉不用令

，也应当能导出（7）式。利用递推关系稍稍一试，果然行。转而再看看（7）式，显然利用几组数据猜出此式一点也不难。这样也就想到了第二种方法－－数学归纳法。