还记得我写过的那篇用概率计算π的文章么？今天又学到了点东西(From Prof.Xiang)。原来用概率模拟来计算一些问题，这种方法是有名字的。名字就是本文标题。以下内容摘自百度百科：
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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于”随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的”曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯?诺伊曼用驰名世界的赌城-摩纳哥的Monte Carlo-来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的”频率”来决定事件的”概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的”图形”，如何求出这个”图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种”随机化”的方法：向该正方形”随机地”投掷N个点落于”图形”内，则该”图形”的面积近似为M/N。
可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。
科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的”维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的”方差缩减”技巧。
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法-”拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)-近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的”华-王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是”用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提高数百倍，并可计算精确度。
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下面我来举几个具体例子：
1 还是求π
这次的方法要简单一点，不用绕那么多弯子。在[0,1]?[0,1]中任取点，该点可能落在单位圆内的概率为圆的面积比上整个矩形的面积。我们知道这个比值是π/4。那么，只要这个概率求出来了，再乘以4就是π。在用计算机模拟的时候，限制条件用x^2+y^2<1。这里究竟要不要取等号是没有关系的。因为面是由无数条线组成。一条线的包括与否不会影响到整体效果。
我用matlab模拟，做了一百万次(即共取1000000个点)，结果为3.1403。
2 求定积分
比如y=x^2(对x)从0积到1。结果就是下图红色部分的面积：
注意到函数在(1,1)点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。所以所求区域的面积即为 在正方形区域内任取点，点落在所求区域的概率。这个限制条件是y<x^2。
我用matlab模拟，做了一百万次(即共取1000000个点)，结果为0.3328。
再比如求重积分
函数z=sin(x+y)/(x+y)的图像大致如下：
这个积分代表函数曲面与平面z=0和柱面x^2+y^2=1所围成的体积。所以我们要求的概率就是：在 以x^2+y^2<=1为底面，1为高的圆柱体内任意取点，这个点落在 函数曲面与平面z=0和柱面x^2+y^2=1所围成的空间内的概率。(呃…看懂了吧)说白了就是两个体积的比。但是由于圆柱体的体积不是1，所以最后积分的结果是我们得到的概率乘以圆柱体的体积(2π)。
我用matlab模拟，做了一百万次(即共取1000000个点)，结果为5.4673。
当然，蒙特卡罗方法还有很多其他的应用，比如说最优化问题。在其他学科中也有广泛应用，比如流体物理和经济学。从另一种角度来说，蒙特卡罗方法也给了我们一个启示：连续概率问题可以转化为图形问题求解。
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