无法理解的数

实数除了常见的整数、分数，还有无理数。除了数学家，一般人对实数（尤其是无理数）的了解实在有限得很。即便是数学家也要到十九世纪后半，才完全弄清楚实数到底是什么，那么，在此之前，人类怎样摸索实数的意义呢？

在中国，很早就能应用分数与小数，遇有根号。就用开方法，求得近似值。中国的数学以应用为主，关心的是怎样求得近似值，从来也不问 2 的平方根到底是什么，更不用说会问：除了有根号的数外还有什么样的数？

巴比伦人也讲求实用，他们心目中的数就是六十进位的整数及有限小数。古埃及人就有点不一样，他们不懂得小数，而分数都要化成分子为 1（分母各不同）的小数之和才能计算（如下）。

可想而知，这种算法非常笨拙，无疑地妨碍了埃及数学的进展。当然，这种埃及分数是很有趣的数学题材，但不是本文讨论的要点[注1]。

[注1]：参阅韩良信〈埃及分数〉一文，刊登在《数学传播》第四卷第三期。

古希腊的数学掌握在哲学家手中，注重的是理论，根本瞧不起实际的计算。他们对数的看法持原子论，认为宇宙的一切事物都可以用自然数或两自然数之比来了解。可是他们并不把比当做数来看待（只有商业计算才用分数，但那不是数学家的事），因此所谓「数」就是自然数。

「等腰直角三角形斜边与一股之比（）不是自然数之比」，这件事的出现使原子论陷于困境。欧多克索斯(Eudoxus，408-355B.C)于是创比例论，用几何方法处理同类两几何量之比，暂时使希腊的数学基础脱离此困境[注2]。由于比例论的成就，使得几何学成为希腊数学的主流，代数问题几乎全用几何方法来处理。另一方面，比例论虽然解决了一些无理比的问题，但它都还是不把量比当做数，使得算术和代数的发展受到阻碍，这是古希腊数学的最大缺陷之一。

[注2]：参阅《科月》七十年五月号本栏。

由于代数的问题用几何方法处理，也由于古希腊的几何学限于直尺与圆规，所以古希腊所能处理的数，就是尺规所能做出的「数」，也就是尺规所能做出的长度（与单位长度相比的比值），透过这种几何方式，希腊人试图了解由整数经四则运算及开方运算所得的「可做数」[注3]。

[注3]：参阅《科月》六十七年五月号〈三等分任意角可能吗？〉一文。

古希腊的几何三大难题，倍立方、圆化方及三分角，其实就是想要造出 、 及某类三次方程的根这些数。希腊人万没想到他们的几何方法有时而尽，居然这些数是用尺规造不成的。希腊人看不出尺规作图和四则运算或开方之间会有什么关系，这种代数问题只有等到代数成熟之后的十九世纪才得解决[注4]。

[注4]：同注3。

亚历山大时期的希腊数学学风渐有改变。天文、三角采用小数计算，实用问题不再完全摒弃，小数、分数才纳入数的系统。我们把分数又叫做有理数(rational number)，其实 rational 源出 ratio，应该译成比数才对，才合乎原来的意思。至于 irrational 当然是非比数，译成无理数真是无理之至。但约定俗成，我们还是接受通用的译名。此期，阿基米德、海伦、托勒密等人，用了很多分数做为平方根的近似值，另一方面，带根号的「量」偶而也看做纯粹的数来处理，但绝不像几何那样有严格的逻辑基础。印度人和阿拉伯人更进一步，他们不但把带根号的量当做数，而且这些数之间也可以做代数式的运算。他们不像希腊人那样哲学心重，计算的需要使他们只重算，而未触及无理数的逻辑问题。

西元 1500 年以后的欧洲，无理数的使用更加自由。譬如迈克尔·斯蒂菲尔（Stifel，1486 ～ 1567 年）研究 型的无理数；弗朗索瓦·韦达（Vieta，1540 ～ 1603 年）考虑圆内接正 边形，而得[注5]

虽然有些欧洲数学家把无理数当做数，但受到希腊几何学的影响，许多数学家如帕斯卡（1623 ～ 1662 年）、艾萨克·巴罗（1630 ～ 1677 年）、牛顿（1642 ～ 1727 年）等都认为： 若脱离几何就没有意义，所以只有 这种量比，没有 这种数。这种对无理数之不安，可用迈克尔·斯蒂菲尔的话做代表注 6：

[注6]：出自斯蒂菲尔所著《Arithmetica Integra》（1554年）。

「在证明几何图形时，有时候有理数不管用，而无理数取而代之，居然很管用。这使我们不得不承认无理数确实是数。可是其他的理由却使我们不得不放弃这种想法。亦即，当我们用小数表示无理数，我们发现小数没有个结尾。既然它是那么不确定，它就不是真正的数。因此，就像无穷大不是一个数，无理数也不是真正的数，它躲藏在一种无穷的云雾里。」 [注7]

[注7]：无理数为无穷小数，小数位数写得再多，还是有「……」，所以觉得不确定，觉得在无穷的云雾里。

虽然如此，由于三角的需要、对数的发展等，使得数学家渐渐接纳无理数为数，且使用无穷小数、无穷连分数、无穷数列、无穷乘积、无穷级数等方法来逼近无理数。十七、十八世纪，由于微积分的出现，使大家亟亟于应用这个犀利的新工具，而少做理论性的讨论，只有十八世纪少数几个数学家在无理数的理论探讨方面有些小突破。

1737 年，欧拉将自然对数的底数 用连分数展开，发现它是个无穷连分数，因此证得 是无理数（他同时也证明 是无理数）[注8] 。约翰·海因里希·朗伯（JH Lambert，1728 ～ 1777 年）也用连分数的方法证明下面的重要结果：若 是不为 0 的有理数，则 、 都是无理数。根据这个结果，既然 不是无理数，那么 ，因此 ，不能是有理数。

[注8]：有理数用连分数表示时，一定是有限连分数。

勒让德（1752 ～ 1833 年）更猜测说： 不但不是有理数，不是带根号的无理数，而且也不是任何整系数多项式方程式的根。满足一个整系数多项式方程式的数称为代数数，否则称为超越数 ── 超越了代数的方法。代数数（如整数、有理数、可做数都是）和超越数的区分，是十八世纪研究无理数在观念上的小突破，可是终此世纪，数学家没法找出一个超越数来。

大致说来，在十九世纪以前，无理数是位无法理解的数。