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在开启正文之前,如果各位是和我一样的高中生,请做好心理准备。这是一篇从头干货到尾的文章,容易引起数学免疫者的不适,请坐稳扶好!
(提示:前一篇文章“所以,什么是极限”是这篇文章的基础,如果各位不能保证对极限有一个扎实的理解,请掉头去看前一篇文章)
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如果你身边有很多热爱数学的朋友,你不妨去问问他们最喜欢和最讨厌的公式各是哪个。关于最讨厌的数学公式,他们的答案可能千奇百怪;但是关于他们最喜欢哪个,你会发现他们的答案出奇的一致,即
为什么最喜欢这个?如果你对于数学是一个偏外行的人,那你大概会问这么一个问题,但是等你对数学有所了解之后,你就会发现这个公式的伟大之处:这个公式中包含了组成运算的最简单的两个符号:加号和等号,实数和虚数中的基本单位:1和i(根号-1),正负之间的界限:0和两个目前被人类发现最特殊的超越数:e和π。所以它被数学界的学者称为“上帝创造的公式”。
这篇文章在介绍欧拉公式的证明中总共会用到的知识点有:极限、复数、三角函数和弧度、泰勒级数、棣莫弗公式等等。这里介绍一下泰勒级数和棣莫弗公式。额外提醒:上一篇文章中说的7个当x趋近于0时的等式,在本篇文章看之前最好记牢,很有用!
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我们在学习数学的过程中,始终讲究的是一个化繁为简、将不会的转化为会的。我们在作运算中也是这个道理,即将复杂的运算转化为简单的运算。
那什么是复杂运算?什么是简单运算呢?
简单的运算就是人类最基础,用的最多的运算,即加减乘除。我们会发现,这样的四则运算带入到函数里面都属于幂函数,是高等数学中五种初等函数的一种。其他四种则分别为三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数,这些都是函数对应的运算规则都不是我们掰掰手指算的过来的,所以我们称他们为复杂运算。
那么我们接下来要解决的问题就是,如何用简单运算的式子去表达或者趋近复杂运算呢。
泰勒级数就是为了解决这个问题应运而生的。你只需要知道一个函数在一个点a的值、导函数值、二次导函数值……你就可以知道该函数在任意点的值了,表达式如下:
如果将a定为0,则这个公式还有一个名字,叫麦克劳林公式,表达式如下:
如果把麦克劳林公式中的f(x)带入e^x或者sin x或者cos x。我们将得到如下的级数表达:
大家先记住即可,对于泰勒级数的证明会在后面几章给大家展示。
4、
我们都知道虚数的基本单位是i,即根号-1。复数就是实数和虚数的结合,一般表达为z,一个复数的标准形式为z=a+bi,其中a,b为实数,a称为实部,bi称为虚部。复数的模是虚数的一个实数表达,复数的模的求算公式是
就像直角三角形的斜边比直角边都大,z大于a,b。所以任意一个虚数都可以表示为
这里我们引入了sin和cos,因为实部和虚部的系数除以该复数的模结果都在-1到1之间。
关于虚数,有一个公式叫棣莫弗公式,其描述为:
这个和泰勒级数一样,记住就好,证明会在后面几章给大家展示。
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好了,背景知识介绍结束,欧拉公式证明方法一开始:
设一个虚数z=a+bi,我们想要知道的是e^z等于多少。
当然,e作为大名鼎鼎的自然常数,它的表达式是
我们将e的表达式带入e^z,得
这样一个复数的雏形就出来了,我们再将该复数转化成标准形式
我们知道任何一个复数都可以表示成r(cosx+isinx)的形式,对于这个复数,我们可以用前面说的棣莫弗公式表示出r和θ,即
接着我们会发现这个r上面还有一个指数x/2,看起来很烦,这里有一个好的处理办法,即将r取对数ln,也可以说设r=e^n,即
将两个平方展开并化简,得
根据
得
(忘记的同学可以看上一篇文章“什么是极限”)
最后得
所以,r=e^a。
接着,我们再来看θ
极限?反正切函数?你想到了什么?
顺理成章,我们可以将arctan消掉,得
化简得
根据极限,得出θ=b。
这样,r和θ都出来了,我们可以用r和θ表示e^a+bi了,即
然后我们设a=0,b=π,再把式子加一。欧拉公式得证。
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讲到这里,如果你已经晕了的话,这里建议你从第五段倒回去看,好好消化一下……
或者看下一种更简洁的方法:
聪明的朋友我相信已经发现了,既然是e的πi次方,是不是直接用泰勒级数展开就好了啊。是的!其实根本不用那么麻烦!
将e^πi用泰勒级数展开,我们可以得到
我们将这个无穷级数分为两段,即将带i的和不带i的分为两类,效果如下:
和
这时候我们再看看泰勒级数的三个展开式
你会发现,上面那组带i的就是i倍的sin(πi),上面那组不带i的就是cos(πi)
把两者相加就是e^πi了,即
欧拉公式得证。
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