矩阵运算中维度变化的规律--秩零化度定理

相信同学们都知道，矩阵运算会带来维度变化。

那么这个变化遵循什么规律吗？

今天我们就来学习一下。

1 维度消失

我们知道，矩阵运算完成的是一个向量空间到另一个向量空间间的映射

而根据秩的不同，映射后的维度也会有所不同。

假设左边是个面

经过满秩矩阵运算后，右边也是个面

如果是非满秩矩阵，则右边是根线

如果是零矩阵，则右边是个点

只要不是满秩矩阵，矩阵运算总有维度损失。

那么消失的维度去哪里了呢？

它们都被压缩到了零点

也就是 

我们来看两个例子。

2 例子

2.1 非满秩

在非满秩矩阵时，映射前是面，映射后是线

则映射前的维度是2，映射后的维度是1 

下面标出零点

映射过程展示如下：

可以看到，此时是一条线被  点

则此时被压缩到零点的维度为1 

2.2 零矩阵

在零矩阵时，映射前是面，映射后是点

则映射前的维度是2，映射后的维度是0 

而零矩阵映射后的那个点就是  点

映射过程展示如下：

可以看到，此时整个面都被映射到了  点

则此时被压缩到零点的维度为2 

2.3 结论

这两个例子说明:

确实是成立的。这就是维度所遵循的规律。下面我们来看看它的一般代数形式。

3 秩－零化度定理

3.1 映射前

假设矩阵  的大小为  。

根据合法性原则可得,映射前的空间是  维空间 

3.2 映射后

再根据矩阵运算法则，可知映射后的空间为矩阵列向量张成的空间

这个空间的维度就是   

 3.3 齐次方程解集的维度

从前面的学习可以看到，被压缩到的零点的向量，其实齐次方程  的解集。

将这个解集的秩用  表示，则: 

 3.4 完整表述

最后，它的完整表达如下：

设矩阵  的大小为  ,  元齐次方程组  的解集的秩为  ,则

这个定理被称为:秩--零化度定理。它就是矩阵运算中，维度所遵循的变化规则。