第6讲 数的整除性（二）
我们先看一个特殊的数——1001。因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。
能被7，11和13整除的数的特征：
如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。否则，数A就不能被7或11或13整除。
例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？
解：因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。
例3 已知10□8971能被13整除，求□中的数。
解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。
2位数进行改写。根据十进制数的意义，有
因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能被3整除。
根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=） 100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。
同理， 100009与（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。
因为91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7和13整除。
分析与解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7
因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。根据能被7整除的数的特征，□99-55=□44也应能被7整除。由□44能被7整除，易知□内应是6。
下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。
判断一个数能否被27或37整除的方法：
对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。
例6 判断下列各数能否被27或37整除：
（1）2673135；（2）8990615496。
解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。
因为810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。
（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。
2，109大于三位数，可以再对2，109的各节求和，2+109=111。
因为111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，进一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。
由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。
判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：
为了叙述方便，将个位是9的数记为 k9（= 10k+9），其中k为自然数。
对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；否则，这个数就不能被k9整除。
例7 （1）判断18937能否被29整除；
（2）判断296416与37289能否被59整除。
解：（1）上述变换可以表示为：
由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除
。一般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到小于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。
练习6
1.下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？
88205， 167128， 250894， 396500，
675696， 796842， 805532， 75778885。
2.六位数175□62是13的倍数。□中的数字是几？
7.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。
8.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？
1861026， 1884924， 2175683， 2560437，
11159126，131313555，266117778。
9.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？
55119， 55537， 62899， 71258，
186637，872231，5381717。
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