一、基本知识 (一)主要数量关系 1.路程=速度×时间 2.总路程=速度和×时间 3.路程差=速度差×追击时间 (二)行程问题的情形 1.相向而行:相遇时间=距离÷速度和 2.相背而行:相背距离=速度×时间 3.同向而行:追及时间=追及距离÷速度差 4.追及问题的数量关系是:速度差×追及时间=追及路程追及问题一般是指两个物体同方向运动,由于各自的速度不同,后者追上前者的问题。解答追及问题,一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体,是因为两者之间存在着速度差。抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理,结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析,并借助线段图来理解题意,就可以正确解题。 如果上述的几种情况交织在一起,组成的应用题将会丰富多彩、千变万化。解答这些问题时,我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系,同时采用“转化”、“假设”等方法,把复杂的数量关系转化为简单的数量关系,把一复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。 5.流水问题就是船在水中航行的行程问题。 顺水速度=船速+水速 水速=顺水速度-船速 船速=顺水速度-水速 逆水速度=船速-水速 水速=船速-逆水速度 船速=逆水速度+水速 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 6.列车过桥 列车过桥的总路程=列车长+桥长; 列车过树的路程为列车长; 速度即车速。 相向运动:两列车从相遇到相离的总路程=甲车长+乙车长;列车过人从相遇到相离的总路程=列车长;列车过人过车的速度=甲车速+乙车速(或车速+人速)。 追及问题:追及的时间=路程÷速度差;齐头并进追及路程=快车长;齐尾并进追及路程=慢车长
二、智慧练习 1.一艘船从甲地沿水路去乙地,往返一次共需2小时。去时顺水,比返回时每小时多航行8千米,且第二小时比第一小时少航行6千米。求甲、乙两地水路的距离。 F:XWBPXJCP73-4,10-1-23。 类型:简易方程 解法一:顺水行一小时的路程=甲乙+逆水行3千米的时间×顺水速度。逆水行一小时的路程=甲乙-3千米。顺水行一小时的路程-逆水行一小时的路程=8千米。由此列出方程。 设静水速度为x,那么顺水速度是x+4,逆水速度是x-4。 3+3÷(x-4)×(x+4)=8 3(x-4)+3×(x+4)=8(x-4) 3x-12+3x+12=8x-32 6x=8x-32 2x=32 x=16 1(16-4)+3=15(千米) 解法二:这道题书上还有一种解法,上次没有看懂,今天有点搞明白了,是这样的:第一小时行了s+3千米,第二小时行了s-3千米。在距离乙地3千米处设一个丙地,那么船在逆水中每小时行s-3千米,在乙丙处花了3÷(s-3)小时,船由甲行至丙,顺水花的时间是1-3÷(s-3)小时,顺水速度就是s÷【1-3÷(s-3)】,s÷【1-3÷(s-3)】=s-3+8,解得s=15。 搞透这道题目整整花了我一个小时的时间。 2.A、B两地相距203米,甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。如果甲、乙从A地,丙从B地同时出发相向而行,那么,在____21_分钟或__29__分钟后,丙与乙的距离是丙与甲距离的2倍。 这道题一个答案我是通过网上搞懂的,另一个答案是我自己想明白的。 解:设x分钟后丙与乙的距离是丙与甲距离的2倍。 这道题有两种情况,乙与丙相遇之后,甲丙还没相遇,丙与乙的距离是丙与甲距离的2倍。 第二种,甲与乙都和丙相遇过了。 1.6x+5x-203=2(203-4x-5x) 11x-203=406-8x-10x 11x+18x+203=406-18x+18x+203 29x+203-203=406+203 29x=609 x=21 2.6x+5x-203=2(4x+5x-203) 11x-203=8x+10x-406 11x-203=18x-406 11x-203+406=18x+406-406 11x+203=18x 7x=203 x=29 3.四辆汽车A、B、C、D在同一条公路上行驶。上午8:00,A从后面追上C,两小时后A与D迎面相遇,再过两小时,A与B迎面相遇。又过了一小时,B与C迎面相遇,再过一小时,B从后面追上D。则在___11__点__20____分的时候,C与D迎面相遇。 【收藏】 F:BJXWBWNJPX100-75,10-1-23。 类型:行程问题 错误原因:这道题目比较复杂,也不太容易理解,我把参考答案看懂就花了一个多小时。 解:设A、B、C、D的速度分别为a、b、c、d。当A、B相遇时,A领先C4(a-c),同时这也是B与C行一小时的路程,得到4(a-c)=c+b。当B追上D时,B在比D多行2(b-d),而D在A与B相遇时领先B2(a+d),2(b-d)=2(a+d),简化后得到2d=b-a。AD相遇时,B还需行2(a-c),需要时间2(a-c)÷(c+d)=4(a-c)÷(2c+2d)= 4(a-c)÷(2c+b-a)= 4(a-c)÷{(b+c)-(a-c)=4(a-c)÷{4(a-c)-(a-c)=4/3时,10时+4/3时=11点20分。
4.一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,就可以比原定时间提高1小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将车速提高25%,则可以提高40分钟到达。那么,甲、乙两地之间的路程是()千米。 F:RDXWBCC第十一讲-简答4 10-02-28类型:行程问题 说明:这道题应该说是不难的,等量关系很容易建立,关键是要会解二元一次方程,计算稍微有些麻烦,不仔细的话容易错。 解:设路程为s,速度为v。 (1)s÷v=s÷1.2v+1 (2)120÷v+(s-120)÷1.25v=s÷v-2/3 (1)1.2s=s+1.2v (1) s=6v 将(1)式代入(2)式 120÷v+(6v-120)÷1.25v=6v÷v-2/3 120÷v+(6v-120)÷1.25v=6-2/3 150+6v-120=15/2v-5/6v 30+6v=15/2v-5/6v 180+36v=45v-5v 4v=180 v=45 45×6=270
5.如图8,甲、乙两艘快艇不断往返A、B两港之间。若甲、乙同时从A港出发,它们能否同时到达下列地点? 若能,请推算它们何时到达该地点;若不能,请说明理由。 (1)A港; (2)B港; (3)在两港之间且距离B港30千米的大桥。 <IMG title="五年级数学【六】应用 3行程问题" alt="五年级数学【六】应用 3行程问题" src="//hiphotos.baidu.com/hanmayaoxue/pic/item/e18447358e8303775ab5f570.jpg" real_src="//static11.photo.sina.com.cn/middle/5d9b962ag845e81cf4f6a&690"> 解:(1)A港:甲往返一次的时间是180÷(30+10)+180÷(30-20)=13.5(时) 乙往返一次的时间180÷(50+10)+180÷(50-10)=7.5(时) 13.5与7.5的最小公倍数是67.5所以在67.5的倍数的时间(0除外)都能在A港相遇。
6.一条公路上,有一个骑车人和一个步行人,骑车人速度是步行人速度的3倍,每隔6分钟有一辆公交汽车超过步行人,每隔10分钟有一辆公交汽车超过骑行人,如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变,那么是间隔几分钟发一辆公共汽车?(假设行人、骑车人、公共汽车的速度均保持不变。)【答案:5分】 F:RDJSBSQCC 行程3-2 10-01-27 类型:行程问题 7.小明在360米的跑道上跑步,已知前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米。问他在后一半路程用了几秒?。 Y:XX2010五上期末挑战 ,10-1-18。 类型:行程问题 解:设一共走了x秒。 0.5x×5+0.5x×4=360 4.5x=360 x=80 一共花了80秒,一半时间就是40秒,那么这些路走了40×4=160米,可是一半路程是180米,相差了20米,这就是因为这两半时间速度不一样。每秒跑5米比每秒跑4米多走了20米,那么这段路花了20÷5=4秒,40+4=44秒。 答:他在后一半路程用了44秒。 这道题应该说不难的,可考试的时候我还是被懵了,这次数学挑战考就在这里栽跟头了。
8.两条公路成十字交叉,甲从十字路口南1200米处向北直行,乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发十分钟,两人与十字路口的距离相等,出发后100分钟,两人与十字路口的距离再次相等,此时他们离十字路口多少米? 答:此时他们离十字路口5400米。
9.小明去爬山,上山时每小时行2.5千米,下山时每小时行4千米,往返一共用了3.9小时。小明一共行了多少千米? 解:小明下山的速度是上山的1.6倍,即4÷2.5=1.6.那么小明在上山花的时间是上山的1.6倍。3.9÷(1.6+1)=1.5,下山花了1.5时,上山花了2.4时,那么1.5×4+2.4×2.5=12千米。
10.从甲地到乙地的路全是上坡路和下坡路,其中上坡路的路程是下坡路的2倍。一辆汽车从甲地到乙地,行上坡路的速度是下坡路的一半,行了1.5小时。从乙地返回甲地,要行多少小时? Y:XX08五上数学挑战乐园-14,20100115 解:1.5÷(4+1)=0.3(时)0.3×2+0.3+0.3=1.2(时) 答:要行1.2时。
解:张每小时速度:60÷20×8=24(千米/时) 李每小时速度:24-3=21(千米/时) 张20分钟行的路程去除以每小时比李多的3千米就等于李到乙地的时间,再用这个时间乘以李每小时的速度就是甲地到乙地的路程了:8÷3×21=8×21÷3=56(千米)=56000(米) 答:甲乙两地相距56000米。
12.甲、乙两车同时从A、B两地相向出发,经过4小时在C地相遇。如果甲车每小时加快10千米,而乙速不变,但乙提前一小时出发;或者甲车速不变,只要乙提前一小时出发并将车速每小时放慢10千米,两车均可在C地相遇.求从A、B两地间的路程? 解:设甲的速度为x,那么3×(x+10)=4X,3x+30=4X,x=30(千米/小时) 设乙的速度为y,那么4y=5×(y-10)),y=50(千米/小时) (50+30)×4=320(千米) 答:A、B两地间的距离为320千米。
13.一条河沿岸依次有甲、乙、丙三个码头。甲、乙相距12000米,乙、丙相距24000米。小明在8点钟从甲码头划船到乙码头。8点40分时,他来到乙码头,搭乘轮船去丙码头。9点钟到达丙码头,到达后,他又立刻乘轮船返回乙码头,到达乙码头的时间是9点24分,然后他又划着自己的小船返回甲码头。问(1)河水流速是多少?(2)回到甲码头是几点? 解:(1)在乙、丙之间轮船的顺水速度:24000÷20=1200(米/分钟) 在乙、丙之间轮船的逆水速度:24000÷24=1000(米/分钟) 水流速度:(1200-1000)÷2=100(米/分钟) (2)在甲、乙之间小船的顺水速度:12000÷40=300(米/分钟) 在甲、乙之间小船的逆水速度:300-100×2=100(米/分钟) 小船从乙到甲逆水航行所需的时间:12000÷100=120(分钟) 回到甲码头的时间:9:24加2个小时,为11点24分。 答:河水流速是100分/米,回到甲码头是11点24分。
14.张波每天早上步行上学,如果每分钟走65米,就要迟到4分钟,如果每分钟走75米,则可以提前2分钟,问张波家到学校的距离是多少米? Y:XX五上每日一题,2010-1-15 解:65×4=260(米) 75×2=150(米) (260+150)÷(75-65)=41(分) 41×75-2×75=2925(米) 答:张波家到学校的距离是2925米。
15.东西两城相距87.5千米,小东从东向西走,每小时走6.5千米。小希从西向东走,每小时走6千米。小辉骑自行车从东向西走,每小时走14.5千米。三人同时动身,途中小辉遇见小希即折向东走,遇见了小东又折回向西走。再遇见小希又折向东走,这样往返,一直到三人途中相遇为止。小辉共走了多少千米? Y:XX五上每日一题,2010-1-15 解:87.5÷(6.5+6)=7.5(时) 7×14.5=101.5(千米) 答:小辉共走了101.5千米。
16.快车和慢车同时从东、西两站相对开出,第一次在中点西侧10千米处相遇,相遇后两车以原速前进,到达对方出发地后,两车立即返回,在途中第二次相遇,这时相遇点距东站40千米。东、西两站相距多少米?
17.小东、小青两人同时从甲、乙两地出发相向而行。两人在离甲地40米处第一次相遇,相遇后两人仍以原速度继续行驶,并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回;途中两人在距乙地15米处第二次相遇,问甲、乙两地相距多远?
18.上午8:08小明骑车从家出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追小明,在离家4千米的地方追上了小明,然后爸爸回家,回家后又立即回头去追小明,在离家8千米处又追上了小明。问这时是几时几分?
19.一条河上有A、B、C三个码头,C码头与A、B两码头距离相等,水流速度是2千米每小时。一只船从上游的A码头顺流而下,到达下游的B码头,然后又调头逆流而上到达中游的C码头,共用时6小时。已知这条船的顺水速度是逆水速度的2倍,求A、B两码头的距离?
20.赵伯伯为锻炼身体,每天步行3小时,他先走平路,然后上山,最后又沿原路返回。假设赵伯伯在平路上每小时行4千米,上山每小时行3千米,下山每小时行6千米,在每天锻炼中,他共行走多少米?
21.小羽和小曼分别住在一座山两侧的山脚下。一天,小羽在上午9:00从家里出发到小曼家做客,小羽在小曼家玩 2个半小时后回家,到家时是下午14:00,若小羽上山每小时走2里地,下山每小时走3里地,则小羽家和小曼家之间的山路长__3___里。 F:七届五年级1试-10,10-1-10 。 【收藏】 解:设小羽家和小曼家之间的山路x里。 x/2+x/3=2.5 x=3
22.甲、乙两人分别从小路两端A,B两处同时出发相向散步.第一次相遇在距B处80米的地方,然后两人继续按原速向前行走,分别到B,A处后再立即返回,第二次相遇在距A处30米的地方.照上面的走法,两人第三次相遇在距A处______米的地方。
23.李经理的司机每天早上7点30分到达李经理家接他去公司。有一天李经理7点从家里出发去公司,路上遇到从公司按时来接他的车,再乘车去公司,结果比平常早到5分钟。则李经理乘车的速度是步行速度的11 倍。(假设车速、步行速度保持不变,汽车掉头与上下车时间忽略不计)【已分】 F:五届五年级1试-17,2010-2-18 。 解:李经理提早了7:30-7:00=30分 汽车单程所需时间:5÷2=2.5分 相遇时李经理走了:30-2.5=27.5分 27.5÷2.5=11
24.两名旅客分别由A、B两镇同时相向而行,甲的速度为120米/分,乙的速度为80米/分,行了一段时间,甲距全程中点560米,乙距全程中点1040米,则这两名旅客从出发到相遇共需_____分钟。 F:五希2模P41-12,10-2-9。 类型:行程问题 解:这道题有两种答案,第一种是甲乙均未到达中点,(1040-560)÷(120-80)=12(分)(1040+560)÷(120+80)=8(分)8+12=20(分)。 第二种甲过中点距全程中点560米,乙还未到达中点。(560+1040)÷(120-80)=40分,(1040-560)÷(120+80)=2.4(分)2.4+40=42.4(分) 25.A,B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出,两车第一次在距甲站32千米处相遇。相遇后两车继续行驶,各自抵乙、甲两站后,立即沿原路返回,第二次在距甲站64千米处相遇,则甲、乙两站相距_________米。 F:五希2模P47,10-02-10。 解:A、B两辆汽车到第二次相遇时,一共行了3个全程。在第一次相遇时,共行了一个全程,三个全程就是3×32千米,这是距离两个全程还差64千米,(3×32+64)÷2=80。
26.在周长为200米的圆形跑道的一条直径的两端,甲乙两人骑自行车分别以6米/秒和5米/秒的速度同时相向出发(即一个顺时针一个逆时针),沿跑道行驶,问16分钟内甲乙相遇多少次? |
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