下面列的是3个古老的几何作图问题，其历史可以追溯到相当久远的年代。
这些问题看起来非常简单，似乎要解决它们只在举手之间。然而却不知它们绞尽了多少数学家的脑汁，花费了多少几何爱好者的青春年华。
图源：pexels
这3个古老而又著名的问题如下。给你一把圆规和一根直尺，经过有限的步骤，你能否：
(1)把一个给定角三等分? 【三分角问题】
(2)作一个立方体使它的体积是已知立方体体积的两倍?【倍立方问题】
(3)作一个正方形使它的面积等于已知圆的面积? 【圆化方问题】
历史的鸿篇，被艰难地翻动了一页又一页，人类终于揭开了这些古老问题的谜底！这就是，要想用圆规和直尺解决以上3个作图问题，是根本不可能的。
读者朋友们，对于上面的结论，你们当中也许还有人抱有怀疑，你本人也许正想尝试一番。不过，我要诚恳地告诉你，这是徒劳的，它只会白白浪费你的宝贵时间和聪明才智。建议你耐心地往下读，它对解开你心头的疑窦，将是非常有益的。
先讲三分角问题。
的确，用圆规和直尺平分一个角是很容易的事。
我们也没有说所有的角都不能三等分。实际上常见的直角就能够三等分！
不过，要是我们能够指出有一个角不能用圆规和直尺三等分的话，那么大家应该相信一个真理，即三等分角的一般性方法是不存在的。
问题的关键在于圆规和直尺究竟有多大的能耐？学习过几何的人都知道，如果我们设定一个单位长1，那么长为a、b 的两条线段，经有限次的四则运算和开平方，用圆规和直尺都是可以作出的。看一看下图，无须多说，大家便会明白这一点。
笛卡儿坐标的建立，使几何问题转化为代数问题成为可能。
实际上，在坐标平面上，直线和圆分别表示为：
方程Ax+By+C=0
方程
如果某线段能够用圆规和直尺作出来，那么这条线段的两端势必是直线与直线，或直线与圆，或圆与圆的交点。也就是说，它的坐标应由下面的方程组来确定：
代数知识告诉我们，上面方程组的解，都可以由系数经过有限次的加减乘除和 开平方求得。如果我们把
或
这类经过两层开平方手续得到的式子叫作二层根式的话(数字都是有理数)，那么三层根式、四层根式乃至于多层根式的意义，大约可以不说自明。
借助于代数的神力，圆规和直尺的作图问题显得更加明朗化了。即凡能用圆规和直尺作图的问题，必须是已知线段的有限层根式；反过来，如果一条线段能表示为已知线段的有限层根式，那么它一定能够通过圆规和直尺作出。
现在回到角A三等分的问题，关键在于如何把这个问题化为代数问题。
这之后，看看结果能不能表示为已知量的有限层根式。如果能，角A就能三等分，如果不能，角A就不能三等分。
为了把三分角问题化为代数问题，我们要用到一个三角公式
现在令cosA=a，又令cos A/3=x，代入上式有
由于角A 是已知的，所以a为定数，例如：
(1)A=90°，a=cos90°=0，所求方程为
解得正根
这是一层根式，因此直角是能够用圆规和直尺三等分的。
(2)A=45°，a=cos45°=√2 /2，所求方程为
可以验证，这个方程有一个正根
这也是一层根式，因此45°角也是能够用圆规和直尺三等分的。
(3)A=60°，a=cos60°=1/2，所求方程为
下面我们来证明，这个方程的根不可能是一层根式 M + √N 。类似地，我们也可以证明这一方程的根不可能是二层根式，三层根式，…，k 层根式。
如果我们完成了上述一系列证明，那么就意味着我们不可能用圆规和直尺三等分60°角。
事实上，如果上面的方程有根 M + √N ，那么代入方程得
展开后整理并比较，有
这表明 M - √N 也应当是上面方程的根。这样，上面方程左端一定可以分解出以下因式
式中系数都是有理数，这很明显是不可能的。从而证明了用圆规和直尺三等分60°角是办不到的。
上面的证明尽管十分粗糙，但我想读者们一定已经确信，用圆规和直尺三等分任意角的一般方法是不存在的。这并非是智慧的贫困，而是科学的精华。
现在说说倍立方问题。这个问题始于一个有趣的神话。传说公元前5世纪古希腊的雅典，流行着一场瘟疫。人们为了消除这场灾难向神祈祷。神说：
“要使病疫不流行，除非把神殿前的立方体香案的体积扩大一倍。”开始人们以为十分容易，只需把香案的各棱放大一倍就行。不料神灵大怒，疫势越发不可收拾。人们只好再次向神灵顶礼膜拜，才知道新香案的体积不等于原香案体积的两倍。这个传说的结局如何? 今天已无从推知，但这个古老的问题却从此流传了下来。
倍立方问题不能用圆规和直尺作出的道理，要比三分角问题简单得多。事实上设原香案棱长为a，新香案棱长为x，则它们之间有如下关系
最后再看圆化方问题。假设已知圆半径为r，所求正方形边长为x，于是
√π看样子有点像一层根式，其实不是，因为 π本身不是有理数。那么，π能不能用圆规和直尺作出呢? 这是一个很难的问题，它比三分角问题还要难得多，我们这里不可能仔细讲它，只是告诉大家，大约在140年前(1882年)，德国数学家 C.L.F.06林德曼(C.L.F.Lindmann，1852—1939)发现并证明了 π是一个“超越数”，也就是不可能由某个有理系数的方程算出的数。
这就表明π更不可能是某层根式。从而，圆化方问题同样无法用圆规和直尺作出。
古代几何三大作图问题的谜，到这里已经完全解开了。
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