八阶幻方的构造

用下列八组数字构造一个八阶幻方，这是一个奇妙的八阶幻方，打破了幻和为4的倍数特征。数字为任意数且不是对称数字，每组数字都与第㊀组一一对应，幻和为质数419：

㊀ . 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11,

㊁. 14,15,17,18,20,21,22,24,

㊂. 27,28,30,31,33,34,35,37,

㊃. 42,43,45,46,48,49,50,52,

㊄. 56,57,59,60,62,63,64,66,

㊅. 67,68,70,71,73,74,75,77,

㊆. 81,82,84,85,87,88,89,91,

㊇. 92,93,95,96,98,99,100,102

用任意数的不对称数做幻方就可用到正交拉丁方表。拉丁方A和拉丁方B一一对应组合后没有重复的数字，这样的两个拉丁方叫正交拉丁方。

用正交拉丁方表中的八阶正交拉丁方6做行方阵，拉丁方7做列方阵组合而成的八阶幻方。也可用正交拉丁方7做行方阵，拉丁方6做列方阵组合成另一个不同的幻方。

将第㊃, ㊆, ㊇组的数加4或减4代入幻方中仍然成立。这是一个奇妙的幻方，它打破了八阶幻方的幻和为4的倍数，是一个特别的八阶幻方。当幻方中的数字+n时幻和也同时+n且幻方仍然成立，当n=1时幻和为419+1=420，n=2时幻和为421，n=5时幻和为424，这样就可以构成无数个幻和的幻方。

正交拉丁方

拉丁方是一种 n × n 的方阵，在这种 n × n 的方阵里，恰有 n 种不同的元素，每一种不同的元素在同一行或同一列里只出现一次，换种形式的说法，就是数独，斜线数独就是一个正交拉丁方。幻方拉丁方和数独的区别：规则不同，数字构成不同。幻方数字组成由不同的或相同的（n²个数，n≥3，且n为整数）组成，要求行，列，对角线数字和相等。数独由n×n行列，且分割成n个盘面，每个盘面的数字均为1~n，填写的数字只要求行和列上的数字不能重复。

如果一个拉丁方的每个数同另一个拉丁方的每个数都出现一次,则称这两个拉丁方是正交拉丁方，正交拉丁方构造成的幻方是完全幻方，同样一个完全幻方可以分解成两个正交拉丁方。

八阶幻方的排列有互补数正排、对角斜排、邻边互补、对边互补等，它们是经过正交拉丁方整体变换而成的。

平方幻方

平方幻方的两个正交拉丁方的起始行，必须用相等的等冪和数组才行。下面简单的介绍一下什么是等冪和数组，如 1，2，3， 4 ，5，6，7，8。八个数我们把它这样组合起来

1²+6²+7²+4²=1+36+49+16＝102

5²+2²+3²+8²=25+4+9+ 64＝102

用等冪和数组1，6，7 ，4。和 5，2，3，8。两组平方和相等，都等于 102，进行变换组合(如2,3,8,5, 1,4,7,6) 得到平方和相等的平方幻方。

上图中的组合数(2,5)表示第2行(或组)的第5列(即第5个数)，即下表中的13；(3,7)表示第3行的第7列为23；(8,1)表示第8行的第1列为57，将这些数字填在相应幻方空格中，这就是上图中幻方的由来。

双重幻方

拉丁方对A和B，用双重公式进一步的得到积相等和幻和相等的双重幻方，也称双料幻方。双重幻方是幻方中较难的一种。

一般幻方

一般幻方通常是由1~64的连续自然数组成。一般八阶幻方的简单制作，分四区和对角线填数的方法。

对角线填数法最简单，对角线正填，其它数反填，或其它数正填对角线反填。

还有一种用四个幻和相等的四阶幻方组合成的八阶幻方，这种幻方不考虑对角线的问题。如下列数字可以间隔组成幻和相等的四个四阶幻方，将它们拼接在一起就组成了一个八阶幻方，幻和为424。

㊀.1,2,3,4,5,6,7,8,

㊁. 9,10,11,12,13,14,15,16,

㊂. 17,18,19,20,21,22,23,24,

㊃. 25,26,27,28,29,30,31,32,

㊄. 33,34,35,36,37,38,39,40,

㊅. 41,42,43,44,45,46,47,48

㊆. 98,100,101,102,103,104,105,107,

㊇. 170,172,173,174,175,176,177,179