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数学模型 - 数学学科
数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。
数学模型的
历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。对于广大的科学技术工作者对大学生的
综合素质测评,对教师的工作业绩的评定以及诸如访友，采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与
数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。
《数学模型(第五版)》是由姜启源、谢金星、叶俊编写，
高等教育出版社出版的 "十二五"普通高等教育本科国家级规划教材，适合作为高等学校各专业学生学习数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材料，也可供科技工作者参考。
全书共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
成书过程
第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行增删与修订，新增和改编的案例接近案例总数的一半，新版本于2018年5月由高等教育出版社出版(《即数学模型(第五版)》)。
折叠编辑本段内容简介
《数学模型(第五版)》共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
折叠编辑本段教材目录
数学模型(第五版)教材目录<br>前辅文
第1章 建立数学模型
1.1从现实对象到数学模型
1.2数学建模的重要意义
1.3建模示例之一 包饺子中的数学
1.4建模示例之二 路障间距的设计
1.5建模示例之三 椅子能在不平的地面上放稳吗
1.6数学建模的基本方法和步骤
1.7数学模型的特点和分类
1.8怎样学习数学建模--学习课程和参加竞赛
第1章训练题
第2章 初等模型
2.1双层玻璃窗的功效
2.2划艇比赛的成绩
2.3实物交换
2.4汽车刹车距离与道路通行能力
2.5估计出租车的总数
2.6评选举重总冠军
2.7解读CPI
第3章 简单的优化模型
3.1存贮模型
3.2森林救火
3.3倾倒的啤酒杯
3.4铅球掷远
3.5不买贵的只买对的
3.6血管分支
3.7冰山运输
3.8影院里的视角和仰角
3.9易拉罐形状和尺寸的最优设计
第4章微分方程模型
4.1奶制品的生产与销售
4.2自来水输送与货机装运
4.3汽车生产与原油采购
4.4接力队的选拔与选课策略
4.5饮料厂的生产与检修
4.6钢管和易拉罐下料
4.7广告投入与升级调薪
4.8投资的风险与收益
第5章微分方程模型
5.1人口增长
5.2药物中毒急救
5.3捕鱼业的持续收获
5.4资金、劳动力与经济增长
5.5香烟过滤嘴的作用
5.6火箭发射升空
5.7食饵与捕食者模型
5.8赛跑的速度
5.9万有引力定律的发现
5.10传染病模型和SARS的传播
第6章 差分方程与代数方程模型
6.1贷款购房
6.2管住嘴迈开腿
6.3市场经济中的物价波动
6.4动物的繁殖与收获
6.5信息传播
6.6原子弹爆炸的能量估计
6.7CT技术的图像重建
6.8等级结构
6.9中国人口增长预测
第7章 离散模型
7.1汽车选购
7.2职员晋升
7.3厂房新建还是改建
7.4循环比赛的名次
7.5公平的席位分配
7.6存在公平的选举吗
7.7价格指数
7.8钢管的订购和运输
第8章 概率模型
8.1传送系统的效率
8.2报童的诀窍
8.3航空公司的超额售票策略
8.4作弊行为的调查与估计
8.5轧钢中的浪费
8.6博彩中的数学
8.7钢琴销售的存贮策略
8.8基因遗传
8.9自动化车床管理
第9章 统计模型
9.1孕妇吸烟与胎儿健康
9.2软件开发人员的薪金
9.3酶促反应
9.4投资额与生产总值和物价指数
9.5冠心病与年龄
9.6蠓虫分类判别
9.7学生考试成绩综合评价
9.8艾滋病疗法的评价及疗效的预测
第10章 博弈模型
10.1点球大战
10.2拥堵的早高峰
10.3"一口价"的战略
10.4不患寡而患不均
10.5效益的合理分配
10.6加权投票中权力的度量
参考文献
教材特色
教材参考中国国内外数学建模教材和教学单元，第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行补充与修订:增加了一些实用性较强、生活气息浓烈、数学推导简化的案例，改写、合并、调整了若干案例和章节，删除了个别案例，并对习题作了相应的修订。
教学资源
配套教材
《数学模型(第五版)习题参考解答》是为配合《数学模型(第五版)》而编写的学习指导书，书号为978-7-04-049631-4，2018年5月23日由高等教育出版社出版，170千字、128页。
课程资源
《数学模型(第五版)》开通有数字课程、MOOC课程的资源。
折叠编辑本段作者简介
《数学模型(第五版)》是由姜启源、谢金星、叶俊编写。
姜启源:
同济大学应用数学系教授。
谢金星:
清华大学数学科学系教授。
叶俊:清华大学数学科学系教授。
定义
数学模型数学模型现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义。数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个
抽象的、简化的结构。具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它
数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
数学模型数学模型（Mathematical Model）是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的
数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
折叠编辑本段建模要求
折叠真实可靠
1）真实的、系统的、完整的,形象的反映客观现象；
2）必须具有代表性；
3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；
4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。
折叠简明实用
在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。
折叠适应变化
随着有关条件的变化和
人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。
折叠编辑本段模型种类
数学模型用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。
静态和动态模型
静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用
微分方程或
差分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的（见
拉普拉斯变换）。
分布参数和集中参数模型
分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性，而集中参数模型是用线性或非线性
常微分方程来描述系统的动态特性。在许多情况下，分布参数模型借助于空间离散化的方法，可简化为复杂程度较低的集中参数模型。
连续时间和离散时间模型
模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。
随机性和确定性模型
随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。
参数与非参数模型
用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。
线性和非线性模型
线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性模型简单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模型。
折叠编辑本段方法步骤
折叠模型准备
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息建模步骤示意图
，尽量弄清对象的特征。
折叠模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
折叠模型构成
根据所作的假设分析对象的
因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
折叠模型求解
可以采用
解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
折叠模型分析
对模型解答进行数学上的分析。”
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
折叠模型检验
把数学上分析的结果翻译回到现实问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。、
折叠模型应用
取决于问题的性质和建模的目的。
折叠编辑本段模型分类
按应用领域分类：
数学模型生物学数学模型
医学数学模型
地质学数学模型
气象学数学模型
经济学数学模型
社会学数学模型
物理学数学模型
化学数学模型
天文学数学模型
工程学数学模型
管理学数学模型
按是否考虑随机因素分类：
确定性模型
随机性模型
按是否考虑模型的变化分类：
静态模型
动态模型
按应用离散方法或连续方法分类：
离散模型
连续模型
按建立模型的数学方法分类：
几何模型
微分方程模型
图论模型
规划论模型
马氏链模型
按人们对事物发展过程的了解程度分类：
白箱模型 ：
指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。
灰箱模型：
指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。
黑箱模型：
指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。
折叠编辑本段目录
第1章 建立数学模型
第2章 初等模型
第3章 简单的优化模型
第4章 数学规划模型
第5章 微分方程模型
第6章 代数方程与差分方程模型
第7章 稳定性模型
第8章 离散模型
第9章 概率模型
第10章 统计回归模型
第11章 博弈模型
第12章 马氏链模型
第13章 动态优化模型
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