诗词中的数学之美
倪俊
（经济学院 保险 ０８１１８６９）
摘要：本文从诗词的外在形式、格律、句式、句度等方面阐述了诗词与数学的关系，以及数学在表现诗词美感中的巨大作用。提出诗词与数学分别是形象思维和逻辑思维的极致和统一，必将在追求“至真”、“至美”的道路上携手同行。
关键词：格律、黄金分割、几何、回文
１ 引言
诗词与数学看似风马牛不相及，实际上它们有着奇妙的同一性。诗词一向被认为是文学艺术上的明珠，是感性灵动的。但实际上，诗词的美感很大一部分要归功于数学之美。正如美学家李泽厚说：“美感是尚待发现和解答的某种未知的数学方程式。”
２ 诗中的数学之美
２.１ 诗外在形式的数学之美
诗外在形式最大的特点是两句一组，依次向下排开，出句和对句字数相同，形成强烈的数学对称之美。
诗的对称之美还体现于一种修辞手法——对仗。长律是对仗美的最好体现，它除首尾两联不用对仗外，其余各联全用对仗，给人工整匀称，气势磅礴的艺术享受。
中国诗源远流长，大体可划为古体诗和近体诗。古体诗可以完全不对仗，而近体诗对对仗的要求很严格，尤其是律诗。可以看出，随着诗的发展，诗人们对数学对称美的追求越来越强烈。
２.２ 诗格律中的数学之美
与古体诗相比，近体诗的格律较为固定，故将其作为分析对象。近体诗又分为律诗和绝句，绝句是律诗的一半，故只分析律诗。
我们以五言律中“首句仄起仄收式”为例
仄仄平平仄
平平仄仄平
平平平仄仄
仄仄仄平平
仄仄平平仄
平平仄仄平
平平平仄仄
仄仄仄平平
律诗中讲究“一三五不论，二四六分明”①，我们将诗中的“平”用“0”、“仄”用“1”去对应。则会有下面的矩阵。
①“一三五不论”的口诀并不完全合于律诗的实际情况，这里不做研究，感兴趣的同学可查阅王力先生的《诗律余论》。 |
（1）
（2）
由于“一三五不论”，我们只研究“ ”和“ ”，即每行的第二和第四个字。
通过观察格律，我们可以发现下面的规律：
应指出，这里的公式须先确定，只要知道，通过此公式便可将五律中的所有平仄推导出来。
律诗中所谓“对”和“黏”的概念，其实讲的就是刚才公式推导的过程，下面简单介绍。
七言律只是比五言律多了二字，其对黏规律与五言律基本相同，仍可以用上述矩阵公式推导。这里就不再赘述了。
2.3
数字深受中国诗人的青睐，它在诗中的巧妙运用，会成为极好的支撑和点缀。
唐诗三百首（人民文学出版社，1982年版）中有数字出现的诗篇就有77篇之多，占总数的26％。
出现数字的诗句共有８１句，其中出现数字１８４个，其中各数字出现次数和频率如下
数字 | 次数 | 频率 |
一 | ４４ | ２４﹪ |
二 | ２１ | １１﹪ |
三 | ２３ | １２﹪ |
四 | ４ | ２﹪ |
五 | １２ | ７﹪ |
六 | ２ | １﹪ |
七 | ０ | ０﹪ |
八 | ２ | １﹪ |
九 | １４ | ８﹪ |
十 | １４ | ８﹪ |
百 | １２ | ７﹪ |
千 | １４ | ８﹪ |
万 | ２２ | １２﹪ |
由于数字本身就很利于对仗美的形成，故数字用于对仗诗句中的高达５４个，占总句数８１句的２／３。
另外，我们还发现一些奇妙的规律。在十以内的数字中，出现频率明显较高的是“一”、“二”、“三”、 “五”、 “九”，这不禁让我们联想到“黄金分割”的一种形式——斐波那契数列（即１、１、２、３、５、８、１３……，且从第三项起每项均为前两项之和）。黄金比例是一种美妙的比例关系，它反映在几何学上，是把线段Ｌ分为两段，使其中较长段Ｘ为全段与较短段（Ｌ－Ｘ）的比例中项，即满足等式Ｌ：Ｘ＝Ｘ：（Ｌ－Ｘ）。解得Ｘ＝０.６１８０３４……倍Ｌ。这一比例无比美妙，人的肚脐在身高的０.６１８处，上肢长约为下肢的２／３等，均体现了黄金分割之美。而斐波那契数列前两项之比是１：１，反映对称关系，自第三项起，每相邻两项之比如２：３、３：５、５：８、８：１３等均近似反映黄金分割的比例关系，且愈往后精度愈高。“一”、“二”、“三”、“五”、“九”中除“九”外全部符合斐波那契数，而其在１０以内数中出现比例更高达８２℅。很显然，这不仅仅是一个巧合。
为进一步证明诗中选择的数字与斐波那契数列的密切关系，我们又发现了对仗诗句中的数字也很有规律。那就是斐波那契数常和其相邻的斐波那契数形成对仗。我们拿“一”、“二”、“三”、“五”为例。（注：“八”与“十三”相邻，诗要求字数工整，“十三”不可与“八”对仗入诗，故不把“八”列入研究之列）。列出表格如下
“一” | 与“一”或“二”对仗６次 | 共用于对仗句２５次 |
“二” | 与“一”或“三”对仗９次 | 共用于对仗句１１次 |
“三” | 与“二”或“五”对仗６次 | 共用于对仗句１５次 |
“五” | 与 “三”对仗３次 | 共用于对仗句１０次 |
例如：“吏呼一何怒，妇啼一何苦。”（杜甫《石壕吏》）
“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。”（杜甫《绝句》）
“三顾频烦天下计，两朝开济老臣心。”（杜甫《蜀相》）
“城阙辅三秦，风烟望五津。”（王勃《送杜少府之任蜀州》）
可以看出，在对仗句中斐波那契数与其相邻的斐波那契数形成对仗的比例高达４０％，这显然不是一种偶然，而是诗人们不自觉地运用了黄金比例的美感。
诗人青睐数字，大概还有以下几个原因：
一、数字可以增强诗内容的概括性
因为数字具有抽象性和简洁性，所以数字入诗不仅可以是语言精练，而且可以增强诗句的概括性。
例如，毛主席的诗句：“四海翻腾云水怒，五洲震荡风雷激。”只用一个“四海”、一个“五洲”就把整个世界的形势都概括进来了。
二、数字可以突出形象的鲜明性
数字不仅能从大的方面对事物起概括作用，而且能从某一侧面对事物的形象起到充实和描写作用，表现强烈的艺术夸张效果。
李白的“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”便是最好的例子。另外，柳宗元的“千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。”“千”“万”“孤”“独”的数字有尖锐的对比和衬托作用，令人为之悚然。
三、数字在律诗中还能使对仗更加工稳，使音节更为铿锵
例如岳武穆的“三十功名尘与土，八千里路云和月。”，陆放翁的“三万里河东入海，
五千仞岳上摩天。”同样是壮怀激烈！
2.4
诗中的意境具有典型性和简洁性，通过她表现出抽象的美感。这让我们不得不联想到简洁抽象的几何美感。
“大漠孤烟直，长河落日圆。”
2.4 回文数与回文诗
数学与诗有着惊人的相似之处，数学中有回文数，诗中有回文诗。
自然数中，无论从左往右或是从右往左去读都是一个数的数叫做回文数。
两位数中只有九个回文数：11、22、33、44、55、66、77、88、99
三位数中的回文数由前两位确定，共有9 10=90个。它们是111、121、131、…212、222、…989、999。
一般地n位数的回文数：
当n为偶数（n=2k）时,有回文数 个。
当n为奇数（n=2k+1）时，有回文数 个。
有趣的是，将两个回文数相加或相减其结果仍是回文数。
例如，56365+12621=68986，5775-2222=3553
更有趣的是，任取一个正整数，与它的倒序数（如1962的倒序数是2691）相加，若其和不是回文数，再将结果的倒序数与结果相加，重复这一步骤，一直得到回文数为止。例如从1992开始，经过7步骤就得到了回文数：
于是数学家提出如下的猜想：不论开始采用什么正整数，在经过有限次倒序相加步骤后，都会得到一个回文数。这仅仅是一个猜想，因为有些数并不“驯服”。如196就是利用上面的方法似乎永远也不成回文数的一个最小的数：
据说利用计算机重复计算十万次，仍未得到回文数。但是人们既不能肯定也不能否定这样永远下去得不到回文数。
这个奥秘就留给我们后人探索吧。
下面我们再看看回文诗。
回文诗有多种形式，如“通体回文”、“就句回文”、“双句回文”、“本篇回文”、“环复回文”等。回文诗的创作难度相当高，但若运用得当，其艺术魅力是一般诗体无法比拟的。
大文豪苏东坡是写回文诗的高手，下面举他的七律诗《游金山寺》为例
潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。
桥对寺门松径小，巷当泉眼石波清。
迢迢远树江天晓，蔼蔼红霞晚日晴。
遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。
我们把这首七律每两句由后往前读下去，就成了：
明月钓舟渔浦远，倾山雪浪暗随潮。
清波石眼泉当巷，小径松门寺对桥。
晴日晚霞红蔼蔼，晓天江树远迢迢。
轻鸥数点千峰碧，水接云山四望遥。
也可将整首诗由后往前读下去，就成了：
轻鸥数点千峰碧，水接云山四望遥。
晴日晚霞红蔼蔼，晓天江树远迢迢。
清波石眼泉当巷，小径松门寺对桥。
明月钓舟渔浦远，倾山雪浪暗随潮。
这首回文诗无论是顺读还是倒读，都是情景交融、清新明丽的好诗，历来被认为是回文诗中的上乘之作。
3
3.1 词外在形式的数学之美
词从诗发展过来，所以又叫“诗余”。
词按字数可分为三类：
58字以内
59～90字
90字以上
可见，字数的两个关键点是58和90，细心的同学可能会发现，58／90恰好接近“黄金比例”！
另外，从段落上，词又可分为小令、双调、三叠、四叠。其中双调最常。这是词人对数学对称美追求的体现。
3.2 词的句式奇偶和句度长短的数学之美
长短句歌词的形式之美，是根据“奇偶相生”、“轻重相权”的八字法则加以错综变化而构成的。
一般来说，每一句歌词的句式安排，在音节上总不出和谐和拗怒两种。而这种调节关系，有的体现在整阕每个句子中间，即句式奇偶和句度长短的配置；有的表现在每句的落脚字，即句末字调的安排。我们这里重点讨论句式奇偶和句度长短的配置产生的数学之美。
以陆游的《钗头凤》为例
红酥手，黄藤酒，满城春色宫墙柳。东风恶，欢情薄。一杯愁绪，几年离索。错！错！错！
春如旧，人空瘦，泪痕红悒鲛绡透。桃花落，闲池阁。山盟虽在，锦书难托。莫！莫！莫！
这一曲调，符合“奇偶相生”的和谐法则。上下阕各叠用四个三言短奇句，两个四言，这就构成整体的拗怒音节，显示一种情急调苦的姿态。尤其是阕尾的“错！错！错！”和“莫！莫！莫！”。单字仄声本就铿锵有力，放翁还将三字叠用，真是将奇数的拗怒凄苦之情发挥到了极致！（读者可将此句改为二字或四字叠句读一下，便可体会到三字的拗怒情味了。）
对举晏几道的《临江仙》
梦后楼台高锁，酒醒帘暮低垂。去年春恨却来时。落花人独立，微雨燕双飞。
记得小苹初见，两重心字罗衣。琵琶弦上说相思。当时明月长，曾照彩云归。
这是一曲平韵小令，也符合“奇偶相生”的和谐法则。上下阕各用二个六字句，二个五字句和一个七字句，整体构成流丽谐婉的音节。我们重点关注阕首的两个六字句。六字句在诗中不常见，词中却很活跃，原因就在它音节的特点。“诗以言志，词以言情”，诗喜欢用“五言”、“七言”这类严肃规整的句度，这利于言志；而词喜欢用“四言”、“六言”这些活泼俏皮的句度，这适于言情。六字句是三个二字句组合起来的。“三”给人的感觉是急促的，三字句就是这种感觉。但“二”给人的感觉是和缓温柔的，六字句就这样将急促和缓柔结合起来，读起来感觉好似迎面活泼蹦跳而来的孩子，既不飞奔般急促，又不漫步般闲缓。
《临江仙》阕首便是相叠的六字句，清丽婉约的小令气息统领全词，成为历代词家喜用的佳调。
3.3
大体来说，一般谐婉的曲调，例以隔句或三句一协韵为标准，韵位均匀，多选平韵。
在同一曲调中，凡属句句押韵的一段声情比较迫促，隔句押韵的所在，即转入缓和。
以冯延巳的《谒金门》为例
风乍起，吹皱一池春水。闲引鸳鸯香径里，手挼红杏蕊。
搔头斜坠。终日望君君不至，举头望鹊喜。
全阕句句押韵，一句换一个意思，步步紧逼，不是充分活衬出一个伤春少妇迫切的心
情来吗？
再举秦观的《阮郎归》
湘天风雨破寒初，深沉庭院虚。丽谯吹罢小单于，迢迢清夜徂。
秦观的《阮郎归》极为低抑悲苦，成为千古绝唱，原因大概有二。
韵位关系上，它富有数学的美感。它除下阕变三言单句为三言两句，隔句一协，显示换气处略显舒缓外，余皆句句押韵，一气旋折而下，使人感到情急调苦，凄婉欲绝。
平仄使用上，就更显出数学的魅力，它那四个五言句子全用“平平平仄平”，平声在一句中占了五分之四。须知一句中不可只有一种平仄的，否则便没有抑扬之美了。正是由于平声在句子中已占到了最大比例，情调的低沉之感被渲染到了极致。
4
数学与诗词是逻辑思维与形象思维的两个极致：数学是逻辑思维的皇冠，诗词是形象
思维的奇葩。
两种事物纵向发展到极致的结果往往不是南辕北辙，而是像登山一样，“殊途而同归”。数学与诗词便是这样。
表面上看，数学与诗词在语言文字的精练要求上是一致的。数学有一个明显的特点是，它的语言准确而简练，一个命题中没有也不能有多余的字（包括数学符号）。这种要求只能中国古典诗词能与之相比。因为一首诗词的文字很少，而且对诗句音韵平仄的限制十分严格。一首传世佳作，其中每个字都要恰到好处，不能随意改动。“吟安一个字，拈断数茎须”，“二句三年得，一吟泪双流”表现的都是文学家们追求“至美”与数学家们追求“至真”同样的严谨、执着。
更深层次上，诗词与数学的统一归根到底是符号上的统一：数学揭示的是隐秘的物质世界运动规律的符号体系，而诗词则是揭示隐秘的精神世界的符号体系。
诗词与数学的同一性来源于人类两种基本思维方式——形象思维和科学思维的同一性。诗词是以感觉经验的形式传达人类理性思维的成果，数学则以理性思维的形试描述人类的感觉经验。诗词是“以美启真”，数学是“以真启美”，虽然方向不同，实则同一。诗词与数学虽一个在山南、一个在山北，但最终，她们必将携手迈向“至美至真”的顶峰！
参考文献：
1、 王力，诗词格律概要，世界图书出版办公司，2006.6
2、 龙榆生，词学十讲，北京出版社，2004
3、 Joseph﹒H﹒Silverman,数论概述，机械工程出版社，2008
4、 易南轩、王芝平，多元视角下的数学文化，科学出版社，2007
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