浅谈充分必要条件的判断与证明

博兴县第二中学    曹连伟    2011年7月20日 09:18

刘玉华于11-7-20 10:16推荐充分必要条件的判断与证明例题典型，总结全面

朱恒杰于11-7-20 11:44推荐对充分必要条件的判断与证明方法总结的详尽全面，有学习和借鉴价值。

 　　对于充分、必要条件的判断与证明，有些初学的同学感觉困难，下面就结合典型例题介绍几种充要条件的判定与证明方法，有认识不到位的地方，望老师们批评指正。

一、充分条件与必要条件的判定

判断一个命题是另一个命题的什么条件，关键是利用定义。如果p?q，则p叫做q的充分条件，原命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件；如果q?p，则p叫做q的必要条件，逆命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件；如果既有p?q，又有q?p，记作p?q，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立，命题中的条件是充要的。

1、定义法

利用定义判断命题的充分、必要条件应该明确：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件.具体情况如下：

 

【归纳总结】利用定义判断充分、必要条件要注意从两个方向进行判断。判断过程中，一般通过举反例来判断条件与结论之间的不能推出关系。

2、命题法

若p为条件，q为结论，由此构造一个命题：如果p，则q，则

(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分不必要的；

(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要一充分的；

(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件是充要的；

(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是既不充分又必要的。

【归纳总结】

　

3、传递法

由于逻辑联结符号“T”、“ü”、“?”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，再判断两个条件之间的条件关系。

【归纳总结】利用“T”、“ü”、“?”连结条件要注意考虑两个方向，即按“T”与“ü”传递的方向。

4、集合法

若p为条件，q为结论，且设p所对应的集合为A＝{x|p}，q所对应的集合为B

【归纳总结】(1)要分清充分性和必要性；

(2)注意两种说法“p是q的必要不充分条件”与“q的必要不充分条件是p”是等价的；

(3)从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围。

二、充要条件的证明

证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明。

【归纳总结】(1)条件已知证明结论成立是充分性。结论已知推出条件成立是必要性；

(2)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。