渗透数学建模思想  提高数学应用能力

 

 

[摘要]  新课程改革的全面实施，对学生学数学用数学的要求越来越高，从历年初中毕业生数学学业考试的情况分析，学生解决应用性问题的能力较弱．数学建模作为重要的数学思想初中学生应该了解，而数学模型作为解决应用问题的最有效手段之一，中学生更应该掌握．在数学课堂教学中及时渗透数学建模思想，不仅可以让学生感受数学建模思想，而且可以利用数学模型提高学生解决实际问题的能力．本文就创设情景教学体验数学建模、注意掌握策略把握数学建模、通过实际应用体会数学建模，谈谈自己的感想，以期抛砖引玉．

[关键词]  渗透   建模   提高  能力  

 

国家教育部制定的全日制义务教育数学课程标准，明确提出了义务教育阶段数学课程的总体目标，即：通过义务教育阶段数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；初步学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；近几年的初中学业考试数学试题明显加强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度，例如，2002至2008年的台州初中学业考试的应用性问题都需用数学建模思想解决：2002年的沙尘暴问题，2003年的缴煤气费问题和联通与电信的选择问题，2004年的节约用水问题，2005年的用三角函数解决灯柱钢缆问题，2006年的出租车油费问题，2007年的学习收益量问题，2008年的楼梯问题，然而，从历年所反馈的数据看，应用性问题的得分率还较低，这说明目前初中教学存在着以练习促理解，以技能训练代替思维训练的现象仍然存在，这种“掐头去尾烧中段”的做法，对学生真正理解和应用数学知识极为不利，而数学建模恰是解决实际问题的一种数学思想，在现行初中数学教材的各种版本中，对应用性问题的解决已初步渗透数学建模思想。笔者认为建模思想的渗透不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣，这不仅为学生进入高一级学校开展数学建模活动奠定基础，同时对于提高学生运用所学的知识解决实际问题的能力大有裨益，更是顺应了当前素质教育和教学改革的需要．

一、创设情景教学　体验数学建模

台州地处东南沿海，境内多丘陵，勤劳聪明的台州人民为解决雨季洪涝灾害和旱季生产生活用水问题，在境内建立了许多的水库．地处黄岩西部的长潭水库是市区人民的大水缸，在一次雨季水库的水位在5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度，

t∕时	0	1	2	3	4	5
y∕米	30	30．5	31	31．5	32	32．5

据天气预报当地还会持续降雨5小时，雨量基本不变，而水库的警戒水位是 34米，问在这次降雨过程中若水库不泻洪有没有危险？

这是一个典型的利用数学建模解决实际问题的例子，首先，建立数学模型，要根据表中给出的数据在直角坐标系中描出散点图，再根据所得的散点图的形状判断两变量之间的函数关系，再选择相应的函数关系式------一次函数；其次，解模，求出所选函数关系式的待定系数，确定具体的函数解析式，即y=0.5x+30,  以x=10代入求得y与 34比较来作出判断．

所谓数学建模的确切含义尚无定论，但专家们比较趋于一致的看法就是将实际问题中事物的内在联系与变化抽象成数学语言，构建适当的数学关系(如公式、函数、方程或图形)，使原来的问题情境转化为易于解决的数学问题的一种数学思想．用于解决实际问题时要注意两个步骤：一是建模（建立数学模型），二是解模（运用有关知识求解数学模型）．而初中学生由于掌握的数学知识非常有限，所能学到的数学模型也不多，但数学建模作为一种重要的数学思想方法，初中学生是非常有必要去了解它重要性，知道它的作用，逐步形成数学建模意识，并能养成用数学建模去解决一些实际问题，提高数学应用能力．当然，一个人意识的形成不是一朝一夕的，需要经过长时间的培养和强化，培养学生的建模意识也一样，需要教师在平时的课堂教学中不断地向学生渗透，并进行适当的强化训练，在教学中，教师可利用现行的数学教材，有针对性地研究在各个教学章节中可引入哪些数学基本模型，且创设与学生已有的数学认识发展水平相适应的问题情境,让学生体验如何应用数学建模的方法来解决实际问题 ．

二、注意掌握策略　把握数学建模

解决应用性实际问题的步骤是：审题，寻找内在数学关系，准确建立数学模型，求解数学模型．其中关键是建模，而建模的关键环节是审题，所以，首先要教学生掌握审题策略：

(1) 细读重点字、词、句、式　　通过阅读材料，观察图表，找出题设中的关键性字、词、句、式，如不到、超过，增加到、增加了，变化、不变，至多、至少，大于、小于等，结合实际意义，深入挖掘题中隐藏着的数量关系与数学意义，捕捉题中的数学模型．

(2) 借助表格或画图　　在某些应用题中，数量关系比较复杂，审题时难以把复杂的数量关系清晰化，怎么办？可以根据事物类别、时间先后、问题的项目等列出表格或画出图形，如：例2. 某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件．已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200．

（1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来．

（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润．最大的总利润是多少？

分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙两种原料的质量，生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等．为了清楚地整理题目所涉及的各种信息，我们可采用列表法．

    可设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是 件，列表格：

再结合题意很容易得到数学模型：

 

通过将较复杂的数量对号入座地填入表格，将复杂的数量关系清晰化，使分散于文字中的数学信息呈现在图表中，让人感觉一目了然．

(3) 关注问题的实际背景　　从现实生产生活中提炼出的应用题，一般都有较浓厚的生活气息，且题设多以文字叙述的方式给出，显得比较抽象，理解难度较大，若我们能多联想问题的原始背景，往往可帮助理解题意，有时会有豁然开朗的感觉．

    其次，在掌握审题策略的基础上，注意引导学生将文字语言抽象概括成数学语言，将等量或不等关系用数学表达式表示出来，根据定义、公式等数学知识，建立相应的数学模型。由于数学模型来源于现实生活具有一定的开放性，再加上现在的学生思维敏捷，接触面较广，想象力丰富，他们对问题的思考和解决问题的方法常常超出教师的想象，因此，我们可以根据不同的方案给出不同的评价，要特别指出那些方面是可取的，那些方面有待改进等，切忌将评价简单化一刀切，应该采用激励性语言，客观描述学生的进步、潜能，提出明确、简要的改进意见，充分表扬学生的参与精神．只有建立了准确的数学模型，解决应用性问题也就变的水到渠成，迎刃而解了．

三、通过实际应用　体会数学建模  

在学习了一个知识点后指导学生用以建立相关的数学模型来解决实际问题，通过解决实际问题使学生掌握相关类型的建模方法，为他们今后能主动用数学的意识、方法、手段处理问题提供知识储备，增加数学建模的经验使学生产生明显的意识和情感．中学数学中常见的数学建模类型大致有以下几种：

1、方程或不等式  

在实际生活和生产中常出现有关行程、路程、工程、统筹安排、最佳决策、最优化问题等方面的应用题可建立方程或不等式模型求解．如：

例3、中国联通130网收费标准是：月租费30元,每月来电显示费6元,本地电话费每分钟0.4元。中国移动的“神州行” 收费标准是：本地电话费每分钟0.6元, 月租费和来电显示费全免．最近,小周买了手机要入本地网,请问为了省钱他该选择中国联通还是中国电信?

方程和不等式是初中数学两个最基础的知识点，也是两个很重要的数学模型，很多的实际问题都可以用这两个数学模型来解决．本例就是通过对使用中国联通和中国电信的费用的比较建立方程和不等式模型，从而解决实际问题．

2、函数模型  

在生产生活中普遍存在成本最低、利润最高、产出最大、效益最好、用料最省等应用问题，可以归结为函数的最值问题，常常建立函数模型来求解．

例4、自建函数模型解决实际问题：如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m²．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45 m²的花圃，AB的长是多少米？

（3）能围成面积比45 m²更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．           

函数作为研究现实世界中变量之间关系的的模型，对于初中学生来说是比较抽象和难懂的，但是在解决实际问题时很有用，所以，教师在教学中一定要注重函数基础知识的落实，注重函数与现实生活的结合．使学生具有扎实的基础知识用以建模来解决实际问题．

3、几何模型

 

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E

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D

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C

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B

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A

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F

在现实生活和生产中诸如测量、设计、材料加工等涉及及到几何图形的应用题，常常需要利用图形的几何性质，建立相应的几何模型，再与方程、不等式、三角函数等知识和方法相结合进行求解．

 

例5、如图所示,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,这时测得的DE 的长就是AB的长,写出已知和求证,并且进行证明.

几何是研究图形为主的学科，在测量等方面有无可替代的作用．本例是在学了全等三角形的知识后，通过利用全等三角形的知识解决比较熟悉的生活例子来渗透数学建模意识，增强应用意识，进一步巩固所学的知识，从而培养学生的数学建模应用能力．

4、三角模型 

用三角函数的知识能确定安全范围内所满足的条件，如：河宽、山高、建筑物的高度测量等，特别是在以方位为基准建立坐标系时的有关计算问题的解决中，非常有用．

例6、如图,A市气象站测得台风中心在市正东方向320千米处,正以每小时25千米的速度向西北的OP方向移动已知台风中心240千米处的范围内是受台风影响的区域,问A市是否受到这次台风的影响?如受影响,那么遭受台风影响的时间有多长?如不受影响,说明理由.

三角函数主要是对直角三角形的边角关系进行研究，在涉及到三角形的边角关系的实际测量问题时，建立三角模型，利用边角转换进行计算得到所需的数据，在解决实际问题时往往有特别好的效果．

5、统计概率模型

统计、概率与现实生活密切联系，模型很多，学生可以通过实践活动来学习数据处理的方法，建立相应的数学模型，并进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考．

例7、某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：

根据上表解答问题：历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由（2分）

本例通过建立统计和概率模型，计算小王和小李的平均分与方差可知两人水平相当但小李比较稳定，结合历届获奖情况发现小李获奖的概率较高，可确定派小李参加，统计和概率模型可从看似杂乱的数据整理出所需要的信息，并解决实际问题，让学生体验到数学在解决实际问题中的威力，激发他们学习数学的兴趣和积极性．

以实际问题的解决作为载体，并结合初中数学中常见的数学模型，通过建立数学模型来解决实际问题，让学生体验到解决数学应用题并不是无章可循.可以经过对实际问题的进行分析——将实际问题数学化——建立数学模型——经数学方法求解——回归到实际问题——求出实际问题的解等几个步骤来解决.让学生在数学的学习中知道数学模型的作用，体验数学建模的数学思想.教师在实际教学中应注意：由于数学是训练思维的体操，在数学教学中注意引导学生大胆想象和猜想，应用已有数学知识，尝试构建数学模型解决实际生产生活中的数学问题；数学问题并非只在数学课中存在，数学教学应特别注意学科间的融合，这不但可以提升数学学习的质量，还可以提升相关学科的学习质量，乃至于对学生的继续学习都会产生深远的影响；作为数学教师要更新教学理念，提高自身的数学建模水平，才能更好的引导学生通过数学建模树立解决数学应用问题的信心，提高解决实际问题的能力.