高中数学：含参数的不等式解法全攻略

含参数的不等式集中了不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论相结合，也是高考中的重点和难点。

分类讨论的关键在于弄清为什么要分类，从什么角度进行分类，本文以这两个方面为着眼点，谈谈分类的策略，供同学们参考。

 

一、解含参数的一元二次不等式的讨论策略

例1. 解关于x的不等式

（

）。

分析：对含参数的一元二次不等式的讨论次序一般为先讨论二次项系数，后对判别式“△”进行讨论。如果需要的话，还要对根的大小进行比较。含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式，其解题过程实质一样，结合二次函数的图象、一元二次不等式分三种情况讨论。

解：（1）当

时，原不等式的解集为

。

（2）当

时，对于方程

，△

。

①若

，即

时，方程

两个解为

，

，

，所以原不等式的解集为

；

②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为

；

③若△<0，即

时，原不等式的解集为R。

（3）当

时，一定有

，方程

两个解为

，

，且

。

此时原不等式的解集为

。

对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式进行讨论。（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小时，需要对解的大小进行讨论。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，要对对应的一元二次方程的判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行讨论。

 

二、解含参数的分式不等式的讨论方法

例2. 已知

，解不等式

。

分析：这是一个含参数的分式不等式，主要策略是化为不等式组讨论或转化为整式不等式讨论。

分式不等式的最基本形式是

（或

），对于任意一个分式不等式，应当首先用移项、通分转化为最基本形式。

解：原不等式化为

。①

（1）当

时，原不等式为

。

（2）当

时，原不等式化为

。②

对于不等式②，分子中的系数a不能随意约去，因为根据不等式的性质，给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变。

当

时原不等式为

，由于

，解得

。

当

0时，由

。

由

或

。

综上，当

时，解集为

。

当

时，解集为

。

当

时，解集为

。

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