01 开场白

说到学微积分，在学完导数的基本概念之后，一定免不了接触 中值定理。

什么罗尔定理，费马定理，拉格朗日中值定理，洛必达法则等等。

有的同学不得其要领，只求记住公式做题目，这样是无法灵活运用的。

这篇文章，就让我们一起来了解一下拉格朗日定理和洛必达法则。

02 拉格朗日定理

拉格朗日

约瑟夫·拉格朗日伯爵(1736 ~ 1813)是18世纪欧洲最伟大的数学家。拉格朗日一生致力于数学、力学和天文学的研究，是变分法的开拓者和分析力学的奠基人。

作为家中长子，拉格朗日的父亲是希望拉格朗日学习法律的。但是，偏偏拉格朗日自幼热爱天文学。在拉格朗日16岁时，一篇介绍牛顿微积分的文章《论分析方法的优点》燃起了拉格朗日对牛顿你的崇拜和敬仰之情，自此发奋钻研数学。

拉格朗日与另一位神人欧拉是挚友。在两位大师的不懈努力下，成功创立数学的一个新分支 - 变分法。

拉格朗日在天文学上颇有造诣，发表论文论证有关月球何以自转、以及自转总是以同一面面对地球的难题。拉格朗日一生学分严谨、精益求精。他的成果也深深的影响着后世的学者们。

好了，闲话不多扯，进入主题。

首先，我们来看一下定义：

拉格朗日定理

初看起来，头皮发麻。不着急，我们慢慢来。

老规矩，上图。

图1：拉格朗日:（一）

假设我们知道 f'(x) 的函数图像，如图1中黑色曲线所示。那么 f(b) 则对应图1中蓝色区域面积。

同理，f(a)则对应图2中红色区域面积。

图2：拉格朗日（二）

因此，f(b) - f(a) 则是蓝色面积减去红色面积。

图3：拉格朗日（三）

现在我们来仔细看一看图3，是不是发现拉格朗日定理中的f(b) - f(a) 和 b - a都出现在了图3中。

图4：拉格朗日（四）

我们在 f'(x) 曲线上有一红点，该点坐标为（x, f'(x)）, a<x<b。

因此，拉格朗日定理可以转变为：

在开区间（a，b）内，一定存在一点使得图4中 黑色斜纹区域面积 = 橙红色区域面积。

假设，图4中的曲线是一辆汽车的速度-时间曲线（t, f'(t))，在时间b处，速度为f'(b)，在时间a处，速度为f'(a)。

那么，

那么，对拉格朗日定理做一下变换：

（f(b) - f(a)）/（b - a）= 总距离/总时间 = 平均速度 = f'(ξ)。

这样理解，拉格朗日定理则变成顺理成章的事情了。

当然，高数书上的解释是：

做出 f(x) 的图形，然后通过将 f'(x) 看做曲线斜率去解释。

但是，我认为那样的解释比较难以接受和理解，只能说各有各的优势。

注明：上图中的曲线是 f'(x)，而不是f(x)。切记不可能混。

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