【转载】一节既有“深度”又有“温度”的数学课

 一节既有“深度”又有“温度”的数学课

——特级教师王俊《平面图形周长和面积的关系》教学赏析

在江苏省首届“苏派名师精品课暨课堂教学高层论坛”活动中，特级教师王俊执教了《平面图形周长和面积的关系》一课。一节很朴实的数学课，由于教者精心设计，层次清晰，扎实有效。既彰显了数学课的学科特质，又不失对学生的人文教育，让人感觉既有“深度”，又有“温度”。现从三个方面与大家一起赏析。

一、整体把握，体现层次性

“平面图形周长与面积的关系”一课，主要通过复习已经学过的平面图形的周长与面积的计算公式，深入理解各个公式的内涵，探究每个图形的周长与面积之间的关系，加强面积与周长的概念，渗透比较、推理、变中抓不变数学思想方法，发展数学思维。

新课伊始，王老师直奔主题：出示已经学过的长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形和圆，要求学生选择其中的一个说说它的周长与面积计算公式。接着，教者依次出示三个圆，引导学生观察思考：你发现了什么？(图略）

 学生发现:“圆的面积变大了，圆的周长也变大了。”教师立即追问道：“如果圆的面积变，周长一定变吗？”学生结合圆的周长与面积计算公式，认为一定会的。理由是什么呢？学生分析说：“周长变了，直径变了，半径也跟着变，因此，面积就会变化。”教师说：像这种思维方式叫做推理，数学往往是通过严密的推理来思考问题的。

接着，教师又依次出示了三种不同的三角形 。（图略） 

同样地，通过比较观察，学生发现了：第二个三角形与第一个比，周长变小了，面积也变小了，而第三个三角形与第一个比较，周长变大了，可是面积却没有变化，因为等底等高的三角形，面积相等。可见，有时三角形的周长变了，面积也跟着变化，而有时三角形的周长变了，它的面积却没有变。

由此，教师带领学生一起研究了圆和三角形周长和面积之间的关系。学生发现了规律：圆的周长变，面积一定变。三角形的周长变化，面积可能发生变化。

接着，教者通过学生小组学习，分别研究长方形、正方形、平行四边形、梯形的周长与面积之间的关系，引导学生继续探索规律，发展数学思考。同时，课尾还进行了生活拓展，要求学生从不同的角度去解决生活问题。

当然后半课的人文“元素”让人难以忘怀，但其中的数学思维训练实则更加用心良苦，这些看似生动浅显的情境，蕴含着变换视角、整体思维等数学思想方法训练契机，这样的教学，是需要一定的数学功力的。

二、小组探究，注重实效性

《全日制义务教育数学课程标准》明确指出，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。建构主义理论也认为： 知识不仅仅是通过教师传授获得的，而是学习者在一定的情境即社会背景下，借助他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资源，通过意义建构的方式获得的。

新课展开中，教师启发说：“我们已经研究了圆和三角形，那么其他四个图形的周长变化，面积是一定变还是可能变呢？下面采用小组合作的方法来研究这些问题，小组里先商量一下，准备研究哪些图形？”待学生汇报研究对象后，教师又要求学生思考准备采用什么方法来研究。有了上面（圆和三角形的探究）的经历，学生自然想到了画图法、推理法、举例法等等。可见，教师将传统的范例教学与新课程中的探究学习分配尺度拿捏得恰到好处，因为有了足够的范例，学生能提炼出探究的方法，但也因为保留了足够的自主探究的素材，学生的思考又有了广阔的空间。

经过小组初步研究，教师组织学生进行了全班的汇报交流。我们不妨选择其中的几个镜头，欣赏学生的探索热情：

第一小组研究的是长方形。组长汇报说：他们采用画图的方法画了四个长方形，分别是：长12，宽1；长6，宽2；长4，宽3 ；长3，宽1。通过计算，他们得到四个长方形的周长与面积依次是26、12；16，12；14，12；8，3。于是，集体得出这样的结论：当长方形周长变化时，面积可能变（因为第一个长方形与第二个比较，周长变了，面积都是12）。

同样地，第二小组的学生通过推理，得到正方形的周长变，面积一定变化的规律。

显然，比起长方形与正方形的研究，平行四边形与梯形的周长与面积的关系似乎更复杂些。但在学生原生态的作品展示中，我看到了学生真实的研究过程：有的画图，有的推理，还有的列式计算证明……。交流时，我看到了学生言语间流露出的自信和获得成功后幸福的情感体验：“我发现了平行四边形的周长变，面积可能变”“我发现了只要梯形的上底与下底的和一样，高相等，面积是不变的 ”“我还发现了梯形的周长变，面积可能变”……

斯托利亚认为：“在教学的每一步，不估计学生思维的水平、思维的发展，就不可能进行有效的学习。”是的，从某种角度看：“怎么教”属于技术层面，而“教什么”则关系到价值判断和思考。王老师安排的小组探究活动，有明确的研究目标，有研究方法的指导，每个学生都在联系自己的经验、体验、问题、想法或小组里相互思维碰撞后获得的灵感火花，主动参与研究活动，真正将数学“冰冷的美丽”变为 “火热的思考”。通过网络式的师生、生生、生本多向互动、交流，实现优势互补，促进了知识的建构，实现了课堂教学过程中的资源生成，提高了学习的有效性。

 三、资源利用，渗透人文性

人本主义教育理论认为：“学生是涌动着无限活力的生命体，是教育的起点和归宿。”数学是人类活动的结果，因而是一种文化现象。因此，每一个数学知识的背后自然都有一个丰富的数学文化，每一个知识内容的背后都有一段动人的数学故事，每一次数学发展的背后都有一个伟大的数学天才。王老师深谙此道，整节课引用了三个数学故事，阐释数学与人生的哲理，细细品味，发人深省。

其一，在得到圆的周长和面积的关系后，补充了古希腊哲学家芝诺的故事。学生问芝诺 ：“老师，您已经非常有学问了，为什么还要学习呢？”芝诺随手画了一大一小两个圆圈，回答说：“大圆的面积是我的知识，小圆的面积是你们的知识。显然，我的知识比你们多。但是，这两个圆的外面就是我们无知的部分。大圆的周长比小圆长。那么大圆与无知部分接触的边缘就多，这就是我要不断学习的原因。”面对学生懵懂的表情，王老师笑着说：“同学们有没有体验到知识的面积越大困惑越多呢？或许通过学习，你就会有这样的体验。”短短几句话，“谦虚、勤奋、好学、向上”有了不一样的意蕴！

其二：在研究完平面图形的周长与面积的关系后，王老师讲了老人分地的故事：“老人分家产。他拿出六根绳子，让每人到园子里去圈地，谁圈到多大一块地，这块地就属于谁，圈剩下来的地就还留给老人种。” 学生听完故事发现：六个儿子每人拿到绳子都是120米。如果周长相等，学生自然想到圆的面积最大，正方形面积第二。因此，他们纷纷建议老人的儿子圈一个块“圆”形的地。面对学生的“异口同声”，王老师不紧不慢地说：“同样条件下，人们都会为自己追求更多的利益。这本身没有错。但是如果我们重新读一读故事，也许你的选择会有所改变。”学生默读着：“你们圈剩下来的地就还留给我种吧。” 似有顿悟：“我会选正方形”“因为正方形的面积比较大，同时正方形的边是直的，能够跟其他图形紧靠在一起。”“孩子，你真是一个既善待自己，又懂得体谅他人的人。”是呀，学数学会让我们从不同角度去思考问题。“如果知道圆的面积最大，那么你就拥有了聪明。如果你明知圆最大，却选择了正方形，那么，你就拥有了智慧！”这是一席智慧的对话。没有教师居高临下的言说，“关心、孝敬、体贴、仁爱……”对人文内容的有效关注和巧妙引导，让人性美好的品质润泽着孩子的心田，也让数学课堂焕发出迷人的人文魅力。

其三，课尾的生活拓展部分，教师讲述了“蜂窝猜想”的故事。他出示了蜂窝图片，要求学生提出问题。学生都对“蜂窝的外形为什么是圆的”产生了疑问。有的认为：同样面积的图形中圆的周长最小，这样可以节省材料。还有的思考：“为什么小蜂巢不是正三角形、正方形？而是正六边形？”面对学生的好奇，王老师语重心长地说：“蜜蜂之所以能在千百万年的进化历程中生生不息，是因为他们善于用最小的成本去争取最好的成果。蜜蜂是精通数学的，那么我们人类是不是也应该像蜜蜂那样对外用圆争取利益的最大化，对内以六边形来低碳生活，从而维护人类的和谐与持续发展呢？”伴随着师生的欢笑声，我相信有一种力量抵达了孩子心里。有人说：“童年的数学应该五彩斑斓，充满想象的色彩，真正适合儿童的数学，应该是一种‘活的数学’，一种能从内心深处唤醒儿童的想象力和激情的数学。”所言极是！

Ｍ.克莱因曾经说：“在最广泛意义上说，数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最完善的内涵。”从这样的角度分析开去，王老师的数学课既有“深度”又有“温度”，他能紧密结合所学内容，适时加强人文教育，及时将探索精神、  审美追求、人性关爱、低碳生活的理念等传递给学生，数学不再是枯燥呆板的代名词，而是真实的、鲜活的、温暖的，更有着蓬勃生命力的！我相信，学生在习得知识能力之外，人性 “真，善、美”的种子已经悄然播洒在心间！

这，或许就是王老师本节课中给予我们最大的启迪与思考吧！