已知函数f(x)=lnx,g(x)=e
x.
( I)若函数φ(x)=f(x)-
,求函数φ(x)的单调区间;
(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x
0,f (x
0))处的切线.证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x
0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性
专题:综合题,压轴题
分析:(Ⅰ)求导函数,确定导数恒大于0,从而可得求函数φ (x)的单调区间;
(Ⅱ)先求直线l为函数的图象上一点A(x
0,f (x
0))处的切线方程,再设直线l与曲线y=g(x)相切于点
(x1,ex1),进而可得
lnx0=,再证明在区间(1,+∞)上x
0存在且唯一即可.
解答:(Ⅰ)解:
φ(x)=f(x)?=
lnx?,
φ′(x)=+=.(2分)
∵x>0且x≠1,∴φ'(x)>0
∴函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞).(4分)
(Ⅱ)证明:∵
f′(x)=,∴
f′(x0)=,
∴切线l的方程为
y?lnx0=(x?x0),
即
y=x+lnx0?1,①(6分)
设直线l与曲线y=g(x)相切于点
(x1,ex1),
∵g'(x)=e
x,∴
ex1=,∴x
1=-lnx
0.(8分)
∴直线l也为
y?=(x+lnx0),
即
y=x++,②(9分)
由①②得
lnx0?1=+,
∴
lnx0=.(11分)
下证:在区间(1,+∞)上x
0存在且唯一.
由(Ⅰ)可知,φ(x)=
lnx?在区间(1,+∞)上递增.
又
φ(e)=lne?=<0,
φ(e2)=lne2?=>0,(13分)
结合零点存在性定理,说明方程φ(x)=0必在区间(e,e
2)上有唯一的根,这个根就是所求的唯一x
0.
故结论成立.
点评:本题以函数为载体,考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查曲线的切线,同时考查零点存在性定理,综合性比较强.
刘长柏老师
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