谈“转化思想”在初中数学解题中的应用
数学解题的本质就是转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题；因此学生学会数学转化，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，也包含了心理达标的转换。转化的目的是不断发现问题、分析问题，最终解决问题。下面结合自己多年的教学实践，谈谈在数学解题中常见的基本转化类型和转化方法。
一、运用数与形之间的“转化”，化抽象为直观。
初中数学是以“数”与“形”这两个基本概念为基础而展开的。《初中数学新课程标准》（以下简称《新课标》）在学习内容中要求：“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”如运用平面直角坐标系来解决有关函数方面的问题，可以通过图形将复杂或抽象的数量关系，直观形象地翻译出来。探索出一条合理而乘势的解题途径；达到解决学生心中存在的困惑，培养学生的数学解题能力目的。
例：(2009 广东肇庆中考)如图,已知一次函数y1=x+m(m为常数)的图象与反比例函数y2= (k≠0)的图象相交于点A(1,3)。
(1)求这两个函数的解析式及其图象的另一个交B的坐标。
（2）观察图象，写出使函数值y1＞y2的自变量的取值范围。
分析：(1)本题要求函数解析式，只要把点A(1,3)代入函数关系式（点转化为数），即解得m=2，k=3。
(2)要求两图象的另一交点B，只要解两个函数联立成的方程组，解得的另一组解（数转化为点），即得点B(-3,-1)，此解题就是将数转化为形过程（使学生直接感受到抽象的方程组解，就是在平面直角坐标系中两个图象的交点的坐标）。
（3）要写出函数值y1＞y2的自变量的取值范围（若转化为解分式不等式，则超出初中数学知识范围），本题可通过把形转化为数来解决；即通过观察图象可知：“所谓函数值y1＞y2，即在平面直角坐标系中就是直线在双曲线上方部分，此时自变量x的取值范围为：－3＜x＜0或x＞1。”
二、把生疏“转化”为熟悉，缩小接触新知识的陌生度
《新课标》要求：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”学生学习数学的实质是：将生疏问题转化熟悉问题的过程，教师要深刻挖掘新教学内容的量变因素，将学生要掌握的新知识，加工到使学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做可达到事半功倍的效果。
例如：在学习解一元一次方程后，学习解二元一次方程组和解一元二次方程，师生可共同探究得到：解二元一次方程组，就是通过加减消元或代入消元的方法将二元一次转化为一元一次方程，该转化称为“消元”；解一元二次方程就是，就是通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，该转化称为“降次”。学生只要理解、掌握解一元一次方程和因式分解方法，解二元一次方程组和解一元二次方程就容易理解和掌握了。
三、把综合问题“转化”为基础问题，变复杂的问题为简单。
数学解题的过程是分析问题和解决问题的过程，对于较难（繁）的问题，通过分析将此转化成几个难度与学生的思维水平同步的小问题，再根据这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握为整体服务，从而找到解题的捷径。
例：（2010江苏南京中考压轴题）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。
（1）设AE= 时，△EGF的面积为，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。
分析：本题通过以下几步转化：（1）把动点E转化为定点，一般学生见到动点就无从下手，找不到解题思路。只有将动点转化为定点，学生解题才能找到感觉，如何将动点转化为定点，就是我们常讲的“动中取静”。当点E在线段AB上运动，只可能存在三种情况，①点E与点Ａ重合，②点E与点B重合，③点E在线段AB上，通过观察分析不管点E在什么位置，△EGF的面积 =EF×MG；（2）把线段EF转化用含x的代数式来表示；由M为AD中点，易证Rt△EAM≌Rt△FDM,，得到EM=FM，在Rt△EAM中，由勾股定理得EM= ，即EF=2 ；（3）把线段MG转化用含x的代数式来表示；作MN⊥BC，构造Rt△MNG∽Rt△EAM，由相似三角形对应边成比例，得到MG=2 ；综合上述三次转化即得到△EGF的面积为 = ×2 ×2 =2x2+2。
由第一步的“动中取静”的转化可知：点E由点A移动到B，所以自变量x的取值范围0≤x≤2；只要在图中简单的画出点E分别在于A、B两点重合时，线段MG的中点P的位置，很容易得到线段MG的中点P运动的路线长为2。
四、把实际问题“转化”为数学模型，体会数学与现实生活的密切联系。
《新课标》在基本理念中指出“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。”重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是《新课标》强调的重点之一。在解决实际问题时，要重在分析，把实际问题转化为数学模型，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
例：（2010山东青岛市中考题）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=－10x+500
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价销×售量）
（2）要解决“每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？”问题,即转化为列一元二次方程解应用题问题，由题意得：（x－20）·(－10x+500)=2000，解这个方程得：x1 =30，x2 =40，所以要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元。
（3）要解决售价、获利的在一定范围内的所需成本最低这一实际问题，则需将本题转化一次函数、二次函数有关性质来完成。∵二次函数w =－10x2+700x－10000，a=－10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000；又∵销售单价不得高于32元，∴当30≤x≤32时，w≥2000；设成本为P（元），由题意得：P=20（－10x+500）=－200x+10000，由一次函数性质k=－200＜0时，P随x的增大而减小，∵30≤x≤32，∴x = 32时，P最小＝3600，
综上所述，转化思想贯穿在数学解题的始终，而转化思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题提供的信息，利用动态思维去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉转化的思想，有意识地运用数学变换方法，去灵活地解决有关数学问题，将有利于提高数学解题的应变能力和技巧。
谈初中数学中的“转化”思想
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谈初中数学中的“转化”思想
提高教学质量，贵在得法。著名的美国数学教育家波利亚认为：“在教学中，技能比仅仅掌握一些知识重要得多。所以，在中学…在给学生传授一定数量知识的同时，也应该使学生具备一定的解题技能。”叶圣陶先生也说过：“教是为了不教 ”。要达到这个不教的目的，其中有一个非常重要的环节，就是要把数学思维方法中的灵魂——“转化”思想传授给学生。
一、“转化”的思想贯穿整个初中教材。
“转化”的思想是一种最基本的数学思想。实际上，我们在传授数学知识时，在解数学问题时，经常在用，反复地应用这一重要的思想方法，只是没有单独地明显地把它提出来而已。九年义务教育初中数学教材处处贯穿了这一基本的思想。它的编排顺序，前面的知识是为传授后面的知识作准备，后面的知识通常转化为前面的旧知识来解决。例如，初一年数学有理数这一章，在学了有理数加法和相反数后，有理数的减法就可以转化为有理数的加法来进行；学了有理数乘法和倒数的概念之后，有理数的除法，又可以转化为有理数的乘法来进行了；学了绝对值和符号的运算法则之后，有理数的运算又可以转化为算术数进行运算……初二年几何学了三角形这一章知识后，四边形和多边形可以转化为三角形问题来解决；复杂图形的面积计算又可以用“割”、“补”的方法转化为几个简单图形的面积问题……初三代数一元二次方程的开平方法可以直接利用初二代数求平方要的问题来解决。而配方法实际上是利用初一代数的乘法公式对一元二次方程进行配方，然后转化为开平方来解决等。环环相扣，由旧引新，把新转化为旧，因而可以说转化的思想贯穿了整个初中数学教材。要教好初中数学，除了要传授数学知识外，更重要的是，要把“转化”这一主要的思想传授给学生，教会学生用转化的观点思考问题，分析问题和解决问题。
二、转化的几种途径。
解题实际上是实现“条件”向“结论”转化，用已知推出未知。解决数学问题的思路就是要把新问题转化为已经解决的或比较容易解决的问题。具体地讲，就是要把复杂的问题转化为简单的问题，生疏的问题转化为比较熟悉问题，把实际问题抽象转化为数学问题，从而求得问题的答案。在初中阶段，转化的途径一般有：
（一）运用联想类比实现转化
解题，就是把问题归结为已经解决过的问题。我国著名的数学家华罗庚十分赞赏以退为进的解题思想。他指出：“要善于退，足够地退，退到原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”德国数学家希尔伯特也曾指出：“可能大多数场合，我们寻找一个问题的答案，而未能成功的原因就在于这样的事实：即有一些比手头问题更简单，更容易的问题没解决或是没有完全解决。”这两个数学家所讲的话实际上是告诉我们，要我们在解题时，要善于把问题转化为已经解决过的简单的问题，容易的问题。也就是说：在解题时要善于联想和类比，要考虑以前是否遇到过类似这样的问题，是否能用它的解题方法或结论来解这道题。这个思考过程就是运用联想和类比实现问题的转化。例如学了一元二次方程的因式分解法后，发现了这一解法的基本思想是“降次”通过这解法一启发学生，如果碰到比这一元二次方程次数高的方程
（二）利用“换元”、“添线”，进行构造变形实现转化
我们在平进解题中常把某个式子看作一个新的字母，实行变量替换，其目的就是为了达到化繁为简，化难为易，促使未知向已知转化。这种变量替换叫做换元法。换元法在化简计算、分解因式、解方程等方面都有着广泛的应用，尤其是在解方程时，换元法更是大显身手，通过换元可以使分式方程转化为整式方程、无理方程转化为有理方程、高次方程转化为低次方程、超越方程转化为代数方程。当然应用换元法时，要注意充分审题，要注意题目中代数式的相等关系、倍数关系、乘方关系及倒数关系，从而设计替换式而达到化简的目的。
添置辅助线在几何证明中也起着过河搭桥的作用，通过辅助线造成基本图形，从而促使分散条件集中化，隐含条件明显化，将已知元素联系起来，将复杂的问题转化为我们熟悉或已经掌握的问题，例如证明线段的和、差、倍、分等问题可通过添置辅助线转化为相等问题来解决。
（三）数形结合，实现转化
数轴的建立，使数轴上的点和实数建立了一一对应的关系，一方面点可以转化为数来研究，另一方面，应用数轴可以直观地定义有关概念如相反数、绝对值的概念。直角坐标系的建立，更使数形的结合达到新境地。一方面，利用图象（形）可以直观地研究函数（数）的性质。通过建立直角坐标系的一些代数问题，可以通过构造图形来解决。反之，一些几何问题也可以请代数来帮忙。这种数形之间的联系及转化，给解题带来了极大的方便。著名的数学家华罗庚说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”所以在平时教学时要求学生注意数形结合，要善于把抽象的数学语言和直观的图形结合起来，以便化抽象为直观。
例：抛物线
分析：这是关于抛物线和X轴交点问题，但由于抛物线与X轴交点横坐标是方程
解：（略）
总之，对于新问题，我们要努力教会学生学会探索学会转化，善于把新问题转化为旧问题，转化为他们已学过的知识和方法去解决。
当然，转化是需要条件的。题目给定的条件，已学过的定义、公理、定理、公式等，这些都是转化的条件，解题时要求学生要紧扣条件，充分利用条件。
三、“转化”离不开最简单、最基本的知识
要使学生掌握转化思想解题，就必须要求学生掌握最简单、最基本的知识。例如，任何一个一元一次方程都要转化为最简方程ax＝b(a≠0)求解，因此，最简单方程是一元一次方程的基础。又如，代数方程最终要归结为解简单的整式方程（一元一次方程和一元二次方程）这就要求学生要熟练地掌握一元一次方程和一元二次方程的解法，这是学生学好其他方程的基础和关键…在平面几何中，三角形是最简单的多边形，其他多边形往往要转化为三角形来研究，可见三角形是平面图形的基础。
从以上事实可以看出要熟练地应用“转化”这一思想进行解题就一定要循序渐进。打好基础，越是基本的东西，越是要求学生掌握，否则“转化”终成一句空话。
四、“转化”几种常见类型
（一）一般转化为特殊
有些题目，把抽象的问题具体化，一般问题特殊化，往往可以很快得到结果或答案。
例1：若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（ ）
（A）a＋b＜－a＋b＜a－b＜－a－b
（B）a＋b＜a－b＜－a＋b＜－a－b
（C）－a－b＜a－b＜－a＋b＜a＋b
（D）－a－b＜a＋b＜－a＋b＜a－b
分析：直接比较四个代数式大小，由于太抽象，所以困难较大，但由于a和b均在一定范围内取值，所以不妨赋予a和b均在一定范围内特殊值。通过对具体数值比较而确定本题答案。
解：∵a＜b＜0 不妨设a＝－3 b＝－2
∴a＋b＝－5 －a＋b＝＋1 a－b＝－1 －a－b＝5
∴a＋b＜a－b＜－a＋b＜－a－b
故选（B）
例2：求证：等腰三角形底边上（包括端点）任意一点到两腰距离之和等于定值。
分析：如果从底边上任意一点进行探索，则难于发现答案，从点的特殊位置底边的一个端点进行考察，就易知答案是等腰三角形一腰上的高，然后作辅助线利用面积证法就可以得到定值为等腰三角形一腰上的高。
解：如右图，在三角形ABC中，AB＝AC，D为BC上任意一点
DE⊥AC DF⊥AB E、F为垂足
连结AD，并过B作BH⊥AC H为垂足
则S△ABC＝
（二）有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。
例如：P为何值时一元二次方程
分析：本题若单从方程的根去考虑，则显得很繁，但若退到几何图形来思考 令
（三）有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明
例：已知O是△ABC的内心，OD⊥BC于D，且AB·AC＝2BD·DC。求证：∠A＝90°。
分析：得用已知条件，按上图设X、Y、Z后就可以转化为代数方法加以论证。
证明：O是△ABC的内心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，
OF⊥AB于F，令DC＝X，BD＝Y，AE＝Z
AC＝X＋Z，AB＝Y＋Z，BC＝X＋Y
由AB·AC＝2BD·DC得：
(Y＋Z)(X＋Z)＝2XY整理得
（四）有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。
例：设X、Y、Z为三个互不相等的实数，且
分析：为了探求得本题的证明，注意到题目中X、Y、Z对称轮换，暂时简化命题条件减少一个未知数，把原题简化为：设X、Y为互不相等的实数，且
又如已知abc＝1，求证：
可以通过对已知ab＝1求证
（五）把实际问题转化为数学问题
生活中的数学问题都涉及到各种生活经验和专业的知识，都是以非数学知识和数学知识交织在一起的面目出现的。因此生活中所碰到的一些实际问题通常转化为数学问题来解决。把实际问题转化为数学问题的一般是：
例：一个运动员推铅球，铅球刚推出来时离地面
分析：这是一个物理问题，它是要利用数学的二次函数知识去解决，因此这是一个从物理问题中建立数学模型的题目。
解：根据题意得所求解析式为：
1）当m＝20时，
2）当m＝－4时，解得a＝－
即
例：A、B两地之间有一条河，假定河宽K一定，今想在河岸搭一桥，问桥应搭在什么地方才能使A经过桥到B路程最短。
分析：这个题目是实际问题，由于河宽一定，故由A向河岸作垂直并截取AA，＝K连结A，B交河另一岸于C，过C作CD重直于河岸交与A同侧一岸于D，CD就是所要求建桥地点。
总之，一些数学问题，如果学生能善于应用转化思想，再加上他们的扎实基础知识，很多问题是可以迎刃而解的
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