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一、函数单调性的常用结论

1、增、减函数的判断

2、对勾函数 y = x + a/x (a>0) 增、减区间

3、在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

4、函数 f(g(x)) 的单调性与函数 y = f(u) 和 u = g(x) 的单调性的关系是“同增异减”.

二、典例讲解

1、比较大小

【例题1】已知函数 f(x) 的图象向左平移1个单位后关于 y 轴对称，

当 x2>x1>1 时，[f(x2) - f(x1)]▪(x2 - x1) < 0="" 恒成立="" ,="">

设 a = f(-1/2) , b = f(2) , c = f(3) , 则 a , b , c 的大小关系为____________.

【解析】

根据已知可得函数 f(x) 的图象关于直线 x = 1 对称，且在 (1,+∞) 上是减函数，

∵ a = f(-1/2) = f(5/2) 且 2 < 5/2="">< 3="" ,="">

∴ b > a > c .

【答案】b > a > c .

2、解函数不等式

【例题2】定义在 R 上的奇函数 y = f(x) 在 (0,+∞) 上递增，且 f(1/2) = 0 ,

则满足 f( log1/9 x ) > 0 的 x 的集合为________________.

【解析】

由题意知 f(1/2) = 0 , f(-1/2) = 0 ，

解得 0 < x="">< 1/3="" 或="" 1="">< x="">< 3="" .="">

【答案】

3、求参数范围

【例题3】

(1)如果函数 f(x) = ax^2 + 2x - 3 在区间 (-∞,4) 上是单调递增的，

则实数 a 的取值范围是____________.

(2)已知

那么 a 的取值范围是________.

【解析】

(1) 当 a = 0 时，f(x) = 2x - 3 , 在定义域 R 上是单调递增的，

故在 (-∞,4) 上单调递增；

当 a ≠ 0 时，二次函数 f(x) 的对称轴为 x = -1/a ,

因为 f(x) 在 (-∞,4) 上单调递增，

所以 a < 0="" ,="" 且="" -1/a="" ≥="" 4="">

解得 -1/4 ≤ a < 0="" ,="">

综上所述，得 -1/4 ≤ a ≤ 0 .

(2) 由已知条件得 f(x) 为增函数，

所以 a 得取值范围是 [3/2 , 2 ) .

【答案】

三、确定函数单调性的方法

(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法，（导数法高一不学）；

(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；

(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“ ∪ ”连接.