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| 题记：“数学教学是数学思维活动的教学”。 ——斯托利亚尔 数学是思维的体操，数学思维是数学教学的灵魂。因此，数学教学活动的核心是促进学生思维的发展。《数学新课程标准》在总体目标中也明确提出，要使学生“初步学会运用数学的思维方法去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科学习中的问题”。基于这样的认识，笔者感悟到小学数学教学要使学生获得基本的数学思想方法，初步学会运用数学的思维方式进行数学思考。进行数学思考要有运用数学符号描述事物的能力、空间观念、初步的逻辑推理能力等。而这些都是在学生不断地受到思维锻炼的基础上逐步形成的。 在课标的指引下，数学课堂教学有了很多喜人的变化。但是，也有很多教师想在一节数学课承载更多的东西，因而往往顾此失彼，使得数学课教学的灵魂——数学思维渐渐流失了。因而笔者常常思考：怎样凸显数学思维优势，给予学生一种新的思考方式，不断提高他们的数学思维能力，让我们的数学课堂成为学生的智慧之旅呢？ 一、现状反思 （一）重心偏离，迷失方向 1．生活味浓了，数学味淡了 传统的数学教学常常脱离生活实际，教师的课堂教学就是照本宣科，学生学得枯燥乏味，学用脱离。为了解决传统数学教学中的这种弊端，新的课程改革要求数学教学必须密切联系学生的实际生活，充分调动学生的生活经验和知识基础。 但是，在实际教学中又出现了一些新的问题：教师们为了凸显数学与生活的联系，往往用“生活”过度包装主题情境，常常使学生注意力游离于情境的表面，无法深入到情境所隐含的数学问题之中。在教师们把生活化过度夸大的同时，数学课渐渐缺少了数学味。 2．目标多元了，思维单一了 针对传统教学对知识、技能关注较多，对学生学习数学的态度、情感关注较少，课标指出要关注每一个学生的情感、态度、价值观和一般能力的发展，并使学生获得作为公民适应现代生活所必需的基本的数学知识与技能。可是，有的教师在制订教学目标时多多益善，各种能力、各种思想都想渗透在每节课中；在教学时为达成各项目标则是均衡用力，使得在达成这多元目标时，属于数学特色的思维却简单处理了。 （二）缺乏指引，放任自流 1．算法多样化了，思维层次低了 随着新课标的实施，数学教师听得比较多的一个词大概称得上是“算法多样化”了。于是在课堂里，我们不只一次地看到：教师为了体现算法多样化，常常会花上半节课“你说我说大家说”，最后以“你喜欢哪种就用哪种”而结束。对于多种算法，教师没有引导学生进行反思、比较、归类，没有及时进行方法间的沟通和优化，从而错失了提升学生思维的良好时机。 2．活动操作多了，思维含量少了 课标强调：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。但是常常见到的是学生在教师的指令下一个操作接一个操作，整节课热闹非凡，却不见了在操作前引导学生思考为什么要操作和怎样操作，及操作后对操作结果进行理性辨析。这样就使得操作活动得不到有效的升华，这就会使学生对知识的理解往往停留在感性阶段而少了理性思考。 二、策略探索 （一）精选素材，挖掘思维内涵 1．研读教材，挖掘资源 “主题图”是人教版教材编写的一大特色。以“场景”的形式来呈现学习素材，富有儿童情趣和现实意义，有利于调动学生已有的认知经验。但其丰富的内涵有时会使教师难以理解和把握，这就需要教师深入研究教材，理解编者的意图，挖掘蕴含其中的教学因素，并转化为可操作的教学策略。让学生获取知识的同时，思维得到发展。 [案例链接]“10的认识”教学片段 在主题图的观察中，教师引导学生从不同角度观察，学生发现了了9个学生和1个老师就是10，体会到9添上1是10。还有：1个戴帽子的和9个不戴帽子的合成10；2个小朋友手上有鸽子、8个人手上没有鸽子，合成10；3个小朋友在喂鸽子、7个没有喂鸽子，合成10；4个穿裙子的、6个不穿裙子的，合成10；地上4只鸽子、上面6只鸽子，合成10；4个扎辫子的、6个不扎辫子的，合成10；5个男的、5个女的，合成10；5个戴红领巾、5个不戴，合成10……
[案例解读] 10的组成是本节课的重点，听过很多教师的课，大多将主题图引入，发现有10只鸽子，9个学生加上1个老师有10个人后便将主题图抛弃了。关于10的组成则另起炉灶，再创设一个情境学习。其实仔细观察这幅主题图，就可以发现其内涵非常丰富，就如以上学生的发现般丰富多彩。学生在经历体验10的组成这一知识中，凭借自己的智慧和能力，积极、独立地思考问题，主动探求知识，多方面、多角度地思考，创造性地解决了问题。这样，既培养了学生解决问题的意识和能力，也培养了学生的求异思维，还初步渗透了分类统计的思想。只要我们善于运用教材，就能拓展学生的思路，开发学生的潜能，使之有所发现，有所创新。 2．拓展教材，活用资源 学习材料的选择、安排应该着眼于全体学生，应该为不同学习风格、不同思维特点的学生做准备。教材中有许多学习材料可以进一步开发延伸，因此，教师应根据学情有效地拓展教材，充实学习材料的内涵，提升思维含量，为每个学生不同的发展而准备。 [案例链接]人教版二年级上册第52练习题
[案例解读] 上述案例中教师巧妙地进行了借“题”发挥：首先变静态为动态，有助于学生看懂这张表，完成表格的填写，巩固1～6的乘法口诀，还在观察表格中发现因数的变化引起的积的变化的规律；然后通过表3进一步巩固了对表格的理解，表4则让学生进行逆向思维训练，由得数想口诀，由口诀想算式，由算式找相对应的位置，学生一下子找到了12有四个位置，不仅极大地激发了学生求知的欲望，还在巩固知识的同时渗透了函数思想，让学生的学习变得主动而丰富。正向思维训练，符合学生的思维习惯，难度不大，学生容易接受，但对学生的思维触动不大。逆向思维能力是数学能力结构中的重要因素。皮亚杰把儿童的可逆思维能力作为智慧发展的重要标志。很多事例说明：凡是数学能力强的学生，能从正反方面建立认知结构，同时也在相反的方向上建立了联系，对知识的认识透彻、深刻。 3.尊重教材，创新资源 作为教师，在尊重教材、理解教材意图的基础上，还应会有机地处理教材。教材只是提供了最基本的教学内容，这就要求教师备课时细品教材意图，结合学情，有效处理教材，选择适合学生学习的学习素材。 [案例链接]”倍的认识”情境创设
【案例解读】 教师引导学生观察这幅情境图时，不但要关注每个小朋友分别用了几根小棒，摆了几个正方形，还要让学生关注这些小朋友所用的小棒根数之间有什么关系。分析教材的意图，我们认识到，学生正确掌握“倍”的关键是在学生正确理解几个几的含义基础上，用几个几来理解“倍”，从而使“倍”和几个几之间达到融会贯通。但是实际尝试中我们发现学生对于“倍”是通过比较得来的，对用“倍”来描述两个集合之间的数量关系不太敏感。于是，我们从学生已有的比较知识——比多比少入手，引导学生进一步观察：发现红气球2个看作1份，蓝气球有这样的4份，蓝气球的个数是红气球的4倍。再通过对比辨析，不断深化学生对“倍”的内涵与外延的理解。第一次2幅气球图的对比，让学生感悟标准不变，比较的量发生变化，倍数也会发生变化。第二次对比出现在红花和蓝花的练习题中，让学生感悟比较的量不变，标准变了，倍数也会发生变化，从而提升学生对“倍”的认识。第三次对比，在“贴苹果”这一环节。让学生贴出第二行是第一行的2倍，感悟倍数不变，比较的量会随着标准的变化而变化。这样的处理充分领会了教材的编排意图，同时也给学生提供了思考的空间，在比较辨析中学习更具有思维的价值。 （二）精心引导，凸显思维能力 1．有效预设，有的放矢 “凡事则预立。”虽然在教学中会产生一些非预设性的生成，但其实有很多是来自于精心的预设。虽然说课堂教学有些生成是无法预料的，但还是有章可循的。要在预设时，加强科学性、计划性，为动态生成预留“弹性时空”，为学生的发展提供足够的空间。只要课前工夫到，准备充分，加上教师的教学机智，课前的预设是可以为课堂的精彩生成奠定基石的。只有把预设做得深入、具体、可操作，教师才能抓住随时生成的课堂资源，才能有效地促使学生。 [案例链接] 三年级上册“分数的初步认识”
教师先出示第一张图片，让学生估一估涂色部分是几分之一，然后课件验证后得出是 [案例解读] 教师通过两张纸条创设了一个内涵丰富的情境，学生发现第二张纸条的涂色部分只有第一张纸条的一半，所以确定用 2．适时点拨，有效引导 《课标》明确指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”于是学生动手实践、自主探索的机会多了。但是有许多教师对新理念的认识不很到位，认为既然学生是学习的主人，在学生的探索过程中教师干预得越少，放得越多就越能体现自主性。这种片面、错误的认识导致我们的教学由一个极端走向另一个极端。把学生当作学习的主体没有错，然而由于有些教学内容有一定的难度，加之学生年龄小，能力有限，探索过程中难免会出现一些障碍。所以，在一定的程度上依赖于教师的适度点拨。正如著名的数学教育专家周玉仁教授所说：“教学中学生能探索得知的教师不要替代，能独立思考的教师不要暗示，要给学生一些思考的时间，多一点儿活动的空间，促进学生的发展。但在学生自主探索的过程中，必要时教师该点拨的还是要点，该设问的还是要问，该板书的还是要板书，该指正的还是要指正……”为师者要给予适当的点拨，让学生在获得知识的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等方面得到进步和发展。 [案例链接] 在二年级下册除法练习中碰到这样一道题，一条路长30米，在路的一边每隔5米种一棵树，两端都种，一共种几棵树？对二年级的学生来说，这是有一定难度的。很多学生凭感觉知道要用除法，但不明确到底要种几棵树。这时，我请小朋友想想可以怎么帮助自己解决问题。学生想到了可以用画图来帮助自己思考。于是，学生用△、∣等符号代表树，很快就解决了。然后我建议学生做个游戏来验证：请小朋友来当树，一棵一棵地“种树”，路长10米、20米、30米……学生的兴趣一下子就调动起来了，解决问题时还发现了规律。这时一个学生举起了手，我便让她说。她说：“我可以用我的手帮忙，一个手指是一棵树，两个手指间就是一个间隔……”多么有创意的想法啊！我赶紧请大家举起手来试一试，然后请大家想想还有哪些类似也可以这样解决，学生想到了以前学过的“有8个男生，每两个男生中间插一个女生，一共可以插几个女生”，还有“从一楼走到五楼走几个楼层”等。 [案例解读] 在这个片段中，教师既没有牵着学生的鼻子走，也没有放任自流，而是主动加入学生的探索活动，及时掌握反馈信息，在学生需要帮助的时候及时地进行策略引导，帮助学生降低了思考的起点，化抽象为形象，变枯燥为有趣，让学生在理解知识的同时获得了解决问题的策略，给予适量、适时、适度的点拨，帮助学生的认识从抽象到具体，再从具体到抽象概括，最后又回到解决实际问题，使学生的思维水平有了新的提升。教师要善于通过有效的手段和方法巧妙地把握住自主探索与点拨间的平衡，引导学生卓有成效地认识、理解、掌握教材内容，从而使学生在活动过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 3．动态生成，有机利用 课堂教学的互动本质，决定了课堂现场定然是即时资源频繁生成的重要平台。无论是独立学习，还是师生对话或是生生合作，意外因素干扰的可能性和主体个性思维的独特性都决定了现场资源是“旁逸斜出”且“不可预约”的。对此，数学教师应凭借自身的教学智慧，从容应对即时资源、巧妙调整教学进程，以诱发认知主体的深层思维，促进知识本质的核心凸显。 [案例链接]二年级上册“9的乘法口诀” 在练习环节中，有一个小朋友在口诀接龙游戏中错了，说成了“七九七十二”，学生纷纷叫“错了”，我马上抓住时机问：“你怎么知道一定错了呢？”第一个学生说：“七九六十三。”我接着问：“如果我真的一下子想不起来7×9等于多少，你有没有好办法可以帮助我？”有个学生说：“用7个9加一加。”大家马上说：“太麻烦了。”有的说：“7乘9就等于70减7。”有的说：“六九五十四，再加上9就是63了。”有的说：“八九七十二，减去9就是63。”……学生把各种情况都列举了。 [案例解读] 记得找完规律时，我问学生“找了规律有什么用”，虽然有学生答出了帮助记忆，但其实很多学生是没感觉的。在这节课的教学过程中，我有效地利用了学生的错误资源，学生在这个环节的体验中，在灵活应用规律来解决问题时深刻感受到“找到的规律有用”。这纠错环节就是一个开放的问题情境，学生不仅理解了口诀的意义，还理解了前后两句口诀之间的关系，更重要地是学会了从多角度思考问题。如果说，刚才的找规律只是学生从知识的外在表现形式上有了更多的发现，那么在利用规律的过程中，学生的创新思维有了很大的提升。 （三）精选方法，提升思维品质 1．关注起点，创新思维 《课标》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师要对教材进行创造性的处理，把学生作为教学的基本出发点，关注学生，处理好教师、学生和教材的关系。 [案例链接] “9的乘法诀” （1）每一位小朋友选一句口诀用自己喜欢的方式来验证，可以用学具摆一摆，也可以在自学本上画一画、写一写。 （2）把你验证的过程讲给同桌听。（同桌交流。）
[案例解读] 《课标》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。”在上述片段中教师了提供充分的时间和空间让学生去体验乘法口诀的形成过程，我想这应该能充分体现对学生知识基础的正视，学生通过验证口诀的方式来认识口诀、理解口诀，这是具有挑战意义的话题。从学生的反馈中，我们可以看到：有的学生通过相同加数连加的方式验证；有的通过画图的方式；还有的用摆学具的方法……学生自由验证了9的乘法口诀。而且由于没有过多的限制，他们的方法各异，可谓“百花齐放”，学生在开放的学习情境中真正成了一个探索者。让学生通过验证的方法“知其然再知其所以然”，把学习知识的机会交给了学生，发展了学生的个性，让不同的学生获得不同的感受，不同的人在数学上获得不同的发展。这样的问题情境，让学生将注意由自己已知的问题转移到未知问题上，兴趣提高了，效果明显了；让学生养成了追根究底的习惯，在追其本源的过程中使学生学会学习。学生在一种向智慧挑战的状态下，充分调动自己的经验，主动参与，积极思考。这样的学习，不仅着眼于“结果”，更着力于“过程”，从而使学生的终身可持续发展成为数学教学的目的。 2．有效操作，渗透方法 数学学习活动要对学生的心智具有挑战与锻炼作用。郑毓信教授提出：如果我们始终停留于实际操作的层面，而未能很好地实现活动的“内化”，包括思维中的必要重构，就根本不可能发展起任何真正的数学思维。数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。教师要提供有效的操作，适时渗透数学思想方法。 [案例链接]人教版二年级上册“数学广角”片段 教师创设了给宝宝搭配衣服的情境：老师想带宝宝去拍照片，准备了两件上衣和两条裤子，宝宝最多可以有多少种不同的穿法呢？你能帮老师设计一下吗？
可以用图片摆一摆，也可以用自己喜欢的方式画一画、写一写。想一想，怎样把你的结果记录在本子上并让大家能一眼看懂？学生操作后，在小组内说说自己的搭配方法。 反馈： 生1：（用摆图片的方式摆出了四种搭配方法。）
生2：（也画了图，又借助连线的方式。）
生3：（用文字表示。）
生4：（用图形表示。） △1 和○1 △1 和○2 △2 和○1 △2 和○2 生5：（用图形表示。）
生6：(1)(3) (2)(3) (1)(4) (2)(4) 师：刚才大家的结论是一样的，表现的方式却有这么多种，你欣赏哪一种表示方法？说说理由。 [案例解读] 对于两件衣服和两条裤子的搭配，数感好的学生很快就可以知道有4种方法，但有些学生却需要借助实物操作帮助理解。如何通过学习活动让不同水平的学生各有所获呢？于是，教学时教师便提出可以用图片摆一摆，也可以用自己喜欢的方式画一画、写一写。想一想，怎样把你的结果记录在本子上，并让大家能一眼看懂？到反馈时，依据思维程度的不同由低到高呈现学生的思考结果，不仅让学生交流搭配出了几种情况，还交流自己怎样表示和记录搭配的结果。这样让不同思维层次的学生面临不同的挑战，促使学生经历从实物抽象到用数学符号表示的过程；可以让不同的学生展示不同的思维方式，让每个学生思考、比较和体验其他同学的算法，通过教师“刚才大家的结论是一样的，表现的方式却有这么多种，你欣赏哪一种表示方法？说说理由”的引导，每个人的经验得到了提升。让学生感悟到“你有一种思想，我有一种思想，交流后每个人各有两种思想”，使数学课堂更和谐。这个过程中初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，关注了学生数学思维方法的渗透和数学思想的发展，促进了学生抽象思维能力的发展。 3．适度提炼，构建模型 《课标》指出：转变学习方式就是要把学习过程中的发现、探究、研究等认识活动突显出来。在数学教学实践中，要善于教给学生思维的主动权，让学生在教师精心设计的问题情境中积极地观察、思考、探究、创造，真正参与到一个生动活泼的、主动的、富有个性的数学学习活动中。数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐步抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学是人们生活、劳动和学习不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然界的现象和生活现象。 [案例链接]三年级下册“长方形面积”教学片段
教师出示图1，每个小方格是1平方厘米，你能知道这个长方形的面积吗？学生很快就用4×3计算出长方形面积是12平方厘米。再出示图2，学生也很快用5×3算出是15平方厘米，并能说出思考的过程：每行5个小方格，有3行，一共有5×3＝15个1平方厘米的小方格，就是15平方厘米。出示图3后，学生很自然地就想到了6×4＝24平方厘米。接着教师出示图4，（既没有一行有几个，又没有分格的点）问：怎么求出这个长方形的面积？问题一抛出，刚才学生因频频成功而激动的场面一下子安静下来。学生们静静地思索着，很快，有几只手自信地举起来了，不一会儿，举手的学生多起来了。教师进行反馈，生说：“量一量长和宽就可以了。”教师反问：“为什么？”生说：“因为长有几厘米就可以摆几个1平方厘米的小方格，宽有几厘米就可以摆几行。”教师说：“你们觉得有道理吗？那就请你想象一下，如果在这个长方形里摆1平方厘米的小方格，会怎样摆？”……
[案例解读] 在教学长方形面积计算方法时，我们常常会让学生先想一想长方形的面积与什么有关？当学生认为和长宽有关时，教师就会进一步问长方形的面积究竟和它的长与宽有什么关系？然后通过1平方厘米的小正方形摆一摆，量一量长和宽，看看有什么发现，学生发现长×宽正好等于摆出来面积。于是便得出长方形面积用“长×宽”的方法来计算。这样的设计问题环环相扣，层层递进。但是当我再一次碰到要教学这个内容时，总觉得这样的安排是否少了点什么？少了什么呢？少了学生数学思维的提升呢？这个过程看上去学生进行了实验、观察、猜测、验证等活动，但实际上一步一步都是由教师牵着鼻子走，学生并没有主动思考。我思考，由于在以前的学习中学生已经有了数方格的经验，就从学生已有的起点入手，从直接可以看出几个到只摆一行一列再是出示分格点最后是什么辅助手段都没有的长方形。当学生提出图4这要量出长方形的长和宽时，我就引导学生说出了这样做的理由是什么？让学生体验了量长宽与数方格的联系是什么？这过程，学生根据自己的认识水平和已有的知识经验，探索了信息之间的相互联系，信息与已有知识之间的相互联系，通过对信息“进行归纳、类比与猜测”，获得了新的活动经验。学生的观察力、想象力、思维力都得到了有效地发展。。 三、结语 《课标》提到：经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。这一目标的含义主要在于能够用数学的语言去刻画现实世界，去发现隐藏在具体事物背后的一般性规律。数学思维在小学数学学习中具有重要的作用。没有数学思维，就没有真正的数学学习。因此，我们在数学教学中要继续深入思考：怎样既重视数学的背景和数学的应用，也注意数学的抽象过程和证明；怎样既强调现实基础，又重视逻辑思维；既密切注意数学的外部关系，也充分体现数学的内在联系，从而使学生的数学学习成为智慧之旅。
参考文献 [1]《全日制义务教育数学课程标准解读（实验稿）》.北京师范大学出版社. 2002（5） [2] 马云鹏主编.小学数学教学设计.长春出版社.2004（5） [3] 孔企平主编.小学数学课程与教学论.浙江教育出版社.2004（6） [4] 庞维国著.数学学习与教学设计.上海教育出版社.2005（6） [5] 陈惠芳著.触摸教育的风景.长春出版社.2005（8）
作者简介 俞玲萍 女，本科毕业，中学高级教师，杭州市保俶塔实验学校教师。1999年荣获杭州市优秀青年教师称号，杭州市学科带头人，区第一届数学首席教师，区基础教育课程改革优秀教师。撰写的论文多篇在省市区获奖，其中《创设有效问题情境的思考与实践》获全国小学数学教学经验交流会一等奖，《新课程背景下教师有效课堂角色定位探索》《尊重·激活·提升》《小学数学教学中关注学生学习起点的思考》等分获市区一等奖。
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