§1.4 矢量在不同坐标系中的变换

在工程计算中，为了简化计算公式，有时需要将某一种坐标系变换到另外一种坐标系，经常遇到的是圆柱坐标系及球坐标系同直角坐标系之间的变换。

1.4.1 圆柱坐标系与直角坐标系间的变换

圆柱坐标系的坐标变量为

、

和

，与直角坐标系中的坐标变量

、

和

之间满足下列变换关系(如图1.17所示):

         (1.52a)

        (1.52b)

矢量函数在上述两种正交坐标系间的变换较为复杂。

若矢量

在直角坐标系中为

式中分量

、

和

是坐标

、

和

的标量函数。

同理，矢量

在圆柱坐标系中为

式中分量

、

和

是坐标

、

和

的标量函数。

利用标量积的定义可以得到

             

   

   

             (1.53)

进一步将标量积展开得

         

       (1.54a)

         

      (1.54b)

及

         

                   (1.54c)

只要求出直角坐标系和圆柱坐标系单位矢量的标量积，式(1.54)中矢量分量间的变换就可完全确定。如图1.17所示，直角坐标系单位矢量

、

和

在

、

和

方向上的投影分别为

                   

                    (1.55a)

                   (1.55b)

                         

                    (1.55c)

式(1.55)的标量积也可用表1-1给出。

表1-1 圆柱坐标系和直角坐标系单位矢量标量积

			0
			0
	0	0	1

式(1.54)和(1.55)是将直角坐标系中矢量变换到圆柱坐标系中的关系式。采用类似的方法，也可得到圆柱坐标系中的矢量变换到直角坐标系中的关系式。采用矩阵形式，也许更便于记忆。

               (1.56)

同理可得

   (1.57)

【例1-2】试将圆柱坐标系中的矢量

变换为直角坐标系中的表达式。

解法1 按题意有

， 

， 

设

矢量在直角坐标系中表示为

其中

根据坐标变换关系，由式(1.52b)最后得

所以

解法2 直接利用矩阵公式(1.56)

同样得

                   

1.4.2 球坐标系与直角坐标系间的变换

类似地，从图1.12中容易看出，球坐标系的坐标变量

、

及

与直角坐标系的坐标变量

、

和

之间的关系为

           (1.58)

和              

                               (1.59)

用类似于从直角坐标系到圆柱坐标系变换的方法，可将一矢量函数从直角坐标系变换到球坐标系

           (1.60)

从图1.12中，不难求出两坐标系单位矢量的标量积为

        

     (1.61)

式(1.61)也可由表1-2给出。

表1-2 球坐标系和直角坐标系单位矢量标量积

			0

将式(1.61)代入式(1.60)中，可写出矢量

从直角坐标系变换到球坐标系中的表达式，反之，也可写出从球坐标系到直角坐标系的变换关系式。

【例1-3】 已知矢量

，试将其变换为球坐标系的表达式。

解  按题意

，

 和

由式(1.60)得

再根据式(1.61)得

最后利用坐标变换公式(1.59)得

则球坐标系中，矢量

表示为