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单球面折射的齐明点

最近在看钟锡华先生编著的《现代光学基础》,第一章介绍齐明点时给出了一个例子,就是今天要讨论的单球面折射时的齐明点。书中给出了齐明点的位置,但是没有给推导过程。我就试着推导了一下,放在这里做个笔记。
齐明点(aplanatic points)又称为等光程点或不晕点。简单的说就是在此处发出的光线经过折射后可以精确汇聚于一点,没有球差、彗差和像散。
如下图:


Q0 点是物点,Q0 点是像点。物点向右方射出的光线要求都能汇聚到像点上。其中圆球内的折射率为n ,外部为 n,并且n>n 。根据三角形正弦定理,可知如下两组关系:

sin(u)r=sin(i)ssin(u)r=sin(i)s

由折射定律我们还知道:
nsin(i)=nsin(i)

前两个式子可以变个形,同时利用折射定律:
s=sin(i)sin(u)r=nnsin(i)sin(u)rs=sin(i)sin(u)r=nnsin(i)sin(u)r

根据三角形内角和关系,我们还有:
u+i=u+i

观察上面的式子,我们发现如果让:
s=nnr

那么 i=u, i=u。 这时:

s=nnr

是个定值。也就是说无论入射角u 是多少,都会汇聚到同样一个点。这一对点就称为齐明点。

第一个发现齐明点的人很了不起,我知道结论了都推导了小半天。。。

齐明点对显微镜镜头设计很有用,物镜为了收集物体发出的更多的光,无法满足傍轴条件。利用齐明点的特性,只要将物体放置在物镜最前面镜片的齐明点上,就能消除像差。当然具体实现起来还有各种技巧,这里就不多说了。下一篇博客讲讲阿贝正弦定理。

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