四元数

发这个帖子，主要是来源与之前思考的两个问题：

1.不同的欧拉角旋转顺序，为什么四元数更新方程都一样，但是得到的欧拉角仅仅只是更改欧拉角输出方程。

2.不同的欧拉角旋转顺序，四元数更新方程一样，为什么初始化方程却不一样，它们之间有什么联系。

以下是我这段时间对这两个问题的解释，我不能保证是对的，如果是错的，希望高人指出。

以免小生一错再错。

已知一个刚体V，通过旋转到V’。

V--->V’用旋转方式1进行旋转，得到roll1、pitch1、yaw1三个欧拉角。

V--->V’用旋转方式2进行旋转，得到roll2、pitch2、yaw2三个欧拉角。

我们知道，已知欧拉角后，可以得到方向余弦矩阵。

两种旋转方式，得到方向余弦矩阵C1与C2.

得到矩阵后，已知V的向量坐标，可以得到V’的向量坐标

V’ = C1*V;

V’ = C2*V;

由以上可知，C1 = C2，也就是说，V--->V’，不管是以何种旋转方式旋转，所得到的方向余弦矩阵都是相同的。也就是，让V--->V’，两种不同的旋转方式下的 roll,pitch,yaw，没有必然联系。

换一句话说，用同样的欧拉角进行两种不同的旋转顺序将刚体V进行旋转，得到刚体向量V1 与 V2，V1与V2之间没有必然的联系。

其实也不难想象，同样的欧拉角，以不同的旋转顺序旋转，得到的刚体姿态之间没有什么联系。（基本不一样，可能会有巧合一样）

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[q0 q1 q2 q3]

刚体四元数，表征了刚体的旋转信息。

我们已知一个V--->V’的旋转：

旋转轴向量[L        M        N]

绕旋转轴的旋转角度a

得到一个四元数:

[q0                q1                q2                q3]

=

[cos(a/2)                L*sin(a/2)        M*sin(a/2)        N*sin(a/2)]

已知q0、q1、q2、q3得到一个坐标变换矩阵C3.

V’ = C3*V

其中C3 = C2 = C1

这样我求出四元数，就可以得到刚体的旋转信息。

不同的旋转方式，只要是V---V’，旋转信息就是一样的，我们通过四元数得到的变换矩阵C，都是一样的，但是由于旋转方式不同，所以求得的欧拉角套用的方程不一样，得出的欧拉角也不一样。

根据之前的设想，不同旋转方式下的欧拉角之间，本来就没有什么联系。

所以我们程序和书里面，欧拉角更新方程，不管是以什么方式旋转都是相同的。

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那为什么四元数的初始化会不一样呢？

假设四元数初始化用同意的代码，V--->V’，旋转顺序不一样，旋转顺序不一样，得到的欧拉角会不一样、欧拉角不一样，用同意的公式进行四元数初始化，就会得到不同的四元数。但都是V--->V’，只是旋转方式不一样，旋转信息都是一样的，四元数应该是一样的这一条件想矛盾。

以上只是小生对近日的总结，是一种复习，也希望对其他同仁有所帮助，更希望大神可以对我理解有误的地方委婉拍砖。