统计学之一般线性模型

一般线性模型
统计博大精深，学习永无止境（被搞死）
GLM（General Linear Model）

一、一般线性模型的组成

1. 方差分析（ANOVA）
   成组设计的方差分析
   配伍设计的方差分析
   多因素方差分析

2. 多元方差分析（MANOVA）

3. 重复测量方差分析

4. 协方差分析

5. 多元线性回归分析

二、方差分析
对因变量的变异可以分解成两部分，一部分来自于自变量不同处理效应的影响（人为可控制的因素–控制变量），一部分来自于误差因素的影响（人为难以控制的因素–随机因素）。
总变异=组间变异+组内变异；

方差分析常用术语

1. 因素
   实验中的自变量（分类）：只有一个自变量的实验陈伟单因素实验，用单因素方差分析（One-Way ANOVA）
   有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验，用多因素方差分析。

2. 水平
   因素（营养液）的不同等级（不同种类营养液）。

3. 单元
   水平的组合，即各因素各水平的组合
   因素：营养液和杀虫剂
   水平：ABC三种营养液，123三种杀虫剂，所以总共有2*3=6个单元。

4. 固定因素/随机因素
   所有可能的水平是/否出现（我没看懂是什么意思）

5. 协变量
   对因变量可能有影响，需要在分析时加以控制的连续变量（连续的变量才叫协变量，用于分组的因素都是离散变量）。通过找出协变量与因变量的回归关系来控制其影响–协方差分析

6. 主效应与交互作用
   一个因素的不同水平引起的变异叫因素的主效应（比如说不同营养液造成的苗的生长高度）；
   单因素：自变量不同水平的数据计算的方差即这个自变量的处理效应或主效应
   多因素：计算一个因素的主效应时应忽略实验中其他因素的不同水平的差异
   当为多因素（多个可用于分组的自变量，比如说性别，左右手等）时，用一个因素进行分组后，在不同组内另一个因素的变化差异明显不一样，则称为交互作用（交互效应）。

7. 简单效应
   一个因素的水平在另一个因素的某个水平上的变异叫简单效应

   

8. 处理效应/误差变异
   处理效应指总变异中由自变量引起的变异，主效应、简单效应、交互作用等
   误差变异指总变异中不能被自变量或明显的无关变量解释的那部分变异

未完待续。。。。。

接上文 
方差分析的适用条件 
各样本的独立性：保证变异的可加性（严格要求）； 
正态性：各单元的残差必须服从正态分布（要求不是明显偏态）； 
方差齐次：各单元格满足方差齐次（变异的程度相同）； 
多因素方差分析 
在实际问题中，经常需要同时研究多个因素对因变量的影响情况。希望控制一些无关的因素；希望找到影响最显著的因素，并需要知道起显著作用的因素在什么时候起最好的影响作用。就需要用到多因素的方差分析。

主要看第二行最后一列，Sig=0;证明不同生字密度对学生的阅读成绩存在显著影响。 

可以看到，配伍设计和完全随机设计的区别，虽然都是单因素方差分析，但是完全随机设计是将所有的被试完全分组，但是配伍设计是先将被试按照性别或者年龄或者智力等其他的非处理因素简单分组之后再随机分配到不同的实验处理条件。

主要看第四行最后一列，Sig=0.232，可以看到不同智力之间对学生阅读成绩是没有显著差异的，第五行最后一列，Sig=0，说明生字密度对学生阅读成绩的显著差异。 

这里可以看到，拉丁方设计的不同之处在于又多了一个非处理因素的分组。 
与配伍设计属于同样的分析，不再赘述。下一篇讲多因素方差分析。 
未完待续。。。。。。 

多因素方差分析 

与单因素方差分析不同的是，多个处理的自变量。 

表中第四行第五行都是主效应，第六行是交互效应。 
对交互作用的进一步检验 
当方差分析发现一个两次交互作用时，需要进一步检验，以说明两个因素之间交互作用的实质。 
方法一：交互作用的图解 
一般线性模型-绘制

 
相互平行的线——无交互效应 
不平行的线——存在交互效应 
方法二：简单效应（在一般线性模型（一）里面讲过） 
例如在一个2*2两因素实验中，A因素和B因素各有两个水平。A因素的两个水平在B1水平的方差叫A在B1水平的简单效应，A因素的两个水平在B2水平的方差叫A在B2水平的简单效应。同样的，对B也是一样。

重复测量方差分析 

重复测量是指对同一研究对象的某一观察指标在不同场合进行的多次测量。 

被试间设计：每个被试接受一个处理水平，被试的个体差异带来的变异混杂在误差变异中。 
被试内设计（重复测量）：每个被试接受所有的处理水平。但是进行被试内处理的一个前提假设是被试接受前面的处理对接受后面的处理没有长期影响。 
重复测量资料的方差分析对协方阵的要求

1. 样本是随机的；

2. 在处理因素的同一水平上的测定值都来自正态总体；

3. 每一水平上的测定值都来自正态总体；

4. 各时间点组成的协方差阵具有球形性特征； 
   Box指出，若球形性质得不到满足，则方差分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是真的无效假设（即增加了|型错误）。 
   协方差阵 
   方差是指在某一时间点上测量值变异性的大小，而协方差是指在两个不同时间点上测量值相互变异性的大小。如果在某个时间点上的取值不影响其他时间点上的取值，则协方差为0，反之，则不为0.由协方差构成的矩阵称为协方差阵。 
   

   
   
   未完待续。。。。。。