例谈三角函数值域（最值）的几种求法

三角函数的值域（最值）问题，其实质上是对含有三角函数的复合函数的求值，是三角函数基础知识的综合应用。这类问题的解决涉及到问题转换、等价化归等常用方法。下面就其类型与解法举例说明。

一、一次型：y=asin(ωx+φ)+b型函数

这是一个基本型，其本质是y=at+b，其中t=sin(ωx+φ)的一次函数问题，其解法关键是求出t=sin(ωx+φ)的范围。

例1、求函数y=2sin2x+■+2在x∈0，■上的最值。

解：∵0≤x≤■，∴■≤2x+■≤■，

∴-■≤sin2x+■≤1

∴sin2x+■=1时，ymax=4；

sin2x+■=-■时，ymin=1。

二、合一型：

y=asinωx+bcosωx+c型函数

这类题目解决的思路是把问题化归为y=asin(ωx+φ)+b的形式，一般而言f(x)max=a+b，f(x)min=-a+b，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图像加以解决。

例2、在0≤x≤■条件下，求y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值。

解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y=■-2sin2x-3■

=2(cos2x-sin2x)-1

=2■cos2xcos■-sin2xsin■-1

=2■cos2x+■-1

∵0≤x≤■，■≤2x+■≤■

∴-1≤cos2x+■≤■

综上所述，

当cos2x+■=■时，ymax=1

当cos2x+■=-1时，ymin=-2■-1

三、二次型：y=asin2x+bsinx+c

或y=acos2x+bcosx+c(a≠0)型函数

其解法是令t=sinx或t=cosx，通过换元化为关于t的二次函数y=at2+bt+c值域或最值的问题，但需要注意新元t的取值范围。

例3、求函数y=cos2x-3sinx的最大值。

解：y=cos2x-3sinx

=-sin2x-3sinx+1

令t=sinx,t∈-1，1

∴y=-t2-3t+1=-t+■2+■

∴当t=-1时，ymax=3

四、分式型:如y=■

或y=■(ac≠0)型函数

利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。

例4.求函数y=■的值域。

解：∵y=■

∴(y+2)sinx=3+2y

∴sinx=■且sinx≤1

∴■≤1

解不等式得y∈-■，-1

五、和、差、积型：

y=a（sinx±cosx）+bsinxcosx+c

sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。sinαcosα是纽带，三者之间知其一，可求其二。令t=sinx±cosx换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。同样需要注意新元t的取值范围。

例5、已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π)，求y的最大值、最小值。

解：设t=sinθ-cosθ

=■sinθ-■

又∵0≤θ≤π

∴-■≤θ-■≤■

∴-1≤t≤■

∵2sinθcosθ=1-t2

∴y=-t2+t+1=t-■2+■

当t=■时，ymax=■；

当t=-1时，ymin=-1

处理三角函数值域问题的实质是实现新问题向旧问题转化，复杂问题向简单问题转化，未知问题向已知问题转化。应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法、数形结合法、导数法等，这里不再赘述。（市实高徐玲玲）