定义新运算
我们学过的常用运算有：＋，－，×，÷等，运算是人们的一种规定。比如２３＋１５就表示把２３和１５合在一起，２３－４就表示从总数２３里去掉３，２×６就表示２个６或者６个２是多少。１００÷１０表示１００里面有多少个１０或者是把１００平均分成１０份，每份是多少。
像这样，我们可以定义一些新的运算。
【例题点拨】
【例1】定义新运算 a◎b=4a-3b。
1. 求7◎2
2. 求x◎(2◎1)=9
分析与解答：本题的关键是理解新定义的实质，即：两个数进行“◎”运算的结果等于◎前这个数的4倍减去◎后这个数的3倍。
1. 7◎2=7×4-2×3=22
2.
x◎(2◎1)=9
x◎(2×4-1×3)=9
x◎5=9
4x-3×5=9
4x-15=9
x=6
[评注]按照规定
6◎5=6×4-5×3=9
但5◎6=5×4-6×3=2
可见6◎5≠5◎6，即这种运算不满足交换律。
同样可以知道 （6◎5）◎4=24，6（5◎4）=0；（6◎5）◎4≠6（5◎4），所以这种运算也不满足结合律。
所以对这类新运算，要严格按规定进行计算，不能随意改变运算顺序，也不能随意应用通常的其他运算定律和性质。
【例2】定义新运算 x※y=x×y+x+y。
1.求2※7，7※2；
2.求(2※3)※4, 2※(3※4)
3.这个运算有交换律和结合律吗？
分析与解答：1. 2※7=2×7+2+7=23
7※2=7×2+7+2=23
2. (2※3)※4=（2×3+2+3）※4
=11※4
=11×4+11+4
=59
2※(3※4)=2※（3×4+3+4）
=2※19
=2×19+2+19
=59
3. 先看新运算是否满足交换律，也就是看x※y是否等于y※x：
x※y=x×y+x+y
y※x=y×x+y+x
= x×y+x+y
所以x※y=y※x,即“※”满足交换律。
再看新运算是否满足结合律，也就是看(x※y)※z是否等于x※（y※z）：
(x※y)※z=（x×y+x+y）※z
= (x×y+x+y )×z+ x×y+x+y+z
= x×y×z+x×z+y×z+ x×y+x+y+z
x※（y※z）=x※(y×z+y+z)
=x×(y×z+y+z)+x+ y×z+y+z
= x×y×z+x×y+x×z+ x+ y×z+y+z
= x×y×z+x×z+y×z+ x×y+x+y+z
所以(x※y)※z= x※（y※z），即※满足结合律。
【例3】对于任意的两个整数a、b,定义两种运算“△”、“▽”：a△b=a+b-2,a▽b=a×b-2,计算5△[(2△3) ▽(2▽3)]的值。
分析与解答：5△[(2△3) ▽(2▽3)]
=5△[(2+3-2) ▽(2×3-2)]
=5△[3▽4]
=5△(3×4-2)
=5△10
=5+10-2
=13
【习题精选】
1． 定义新的运算⊖.
（1）求3⊖4。
（2）求5⊖(2⊖3)
2． 设S表示的3倍减去的2倍,即S=,已知S(4S1)=7.求。
3． 对于两个不相等的自然数，定义运算a #b ，表示将a、b 中较大的数除以较小的数，结果取其余数。比如9#5=5#9=4，18#6=6#18=0。如果 x#13=3，且x<20，那么x 等于多少?
4． 表示两个数,规定新运算“※”及“○”如下:※,○.求(3※4)○5的值.
5. 对于a、b，定义两种运算，“*”，及“◎”，如下：a*b=6×a+5×b,a◎b=3×x×y,求（2*3）◎4。
6. 规定“※”表示运算a※b=3×a+2×b,计算：
（1）4※5 (2)5※4
(3)4※2※3 (4)5※(2※3)
【自我测试】
1． 有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:2⊗4=10,5⊗3=18,3⊗5=14,
9⊗7=34。求7⊗3。
【习题精选】
1.（1）11（2）25 2. x=9 3. 16 4. 930 5、324
6.(1)22 (2)23 (3)54 (4) 39
【自我测试】
1. 24
联系客服
