中考数学压轴题分析：三定一动型平行四边形存在性问题

平行四边形的存在性问题还是出现的频率比较高。本文内容选自2020年齐齐哈尔中考数学压轴题。难度不大，内容比较典型。值得研究。

【中考真题】

（2020·齐齐哈尔）综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线的函数解析式为　     ，点的坐标为　    　，　   　；
连接，若过点的直线交线段于点，将的面积分成的两部分，则点的坐标为　        　；
（3）在轴上找一点，使得的周长最小．具体作法如图②，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接、，此时的周长最小．请求出点的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】
题（1）代入点坐标解方程组即可。

题（2）利用OA=OB得点B的坐标，再待定系数法求AB的解析式。顶点M的坐标直接用公式代入即可。求余弦则利用余弦的定义得到边的比例关系即可。

过顶点分三角形的面积，只需过把边进行分割就可以了。本题没有指明具体的比例关系，那么就需要分2种情况讨论了。

题（3）本质就是将军饮马问题。直接转化为求线段长度即可。

题（4）因为3个定点，因此有3种情况进行讨论。难度不大。根据平移的性质，或者中点坐标公式都可以。
【答案】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为：；

（2）点，，故点，
设直线的解析式为，
将点坐标代入得，，
．
直线的表达式为：；
则，故；
对于，函数的对称轴为，故点；
将的面积分成的两部分，则或，
则，即，解得：或4，
故点或；
故答案为：；；；或；

（3）的周长最小，
点，
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：，
令，则，故点；

（4）存在，理由：
设点，而点、、的坐标分别为、、，
①当是边时，
点向右平移6个单位向上平移6个单位得到点，同样点向右平移6个单位向上平移6个单位得到点，
即，，解得：，
故点或；
②当是对角线时，
由中点公式得：，，
解得：，，
故点；
综上，点的坐标为或或．