十进制和其它进制

山风谈数学之二 十进制和其它进制

写在正文之前

家有小儿哈哈，12年9月就近进了一所普通的公办小学就读。10月开始学习奥数，妈妈做起了老师。在学习中教学相长，哈哈有自己的想法，妈妈也动脑筋琢磨出一些办法，把一些数学的基础概念和知识解释给哈哈听，帮助他理解。在群中聊天后，很多家长都希望我整理成文，我所写的，是我自己的想法和体会，未必和教科书的概念和定义相符合，请各位家长自己甄别。妈妈学理工科的，文笔不太好，大家多理解。以下内容都是我一个字一个字打出来的，如果引用，请注明出处。这篇文章也是抛砖引玉，希望大家一起来动脑筋，帮助小朋友们把数学学好。

-------------------------------------------------------------------------------------------------本篇是山风给哈哈讲的故事，时间点在一年级上学期结束的时候。当时学校已经教过带进位的加法，就是20以内的加法，也讲过十进制。看到某本奥数教材上有讲其他进制的，就在想，怎么讲给他听。这里只是埋下了一粒关于多进制概念的种子，也许在某天就会发芽、长大。

以下故事纯属胡编乱造，家长们不要以此为教科书来教导小孩。

很久很久以前，还在原始社会的时候，人们以部落的形式居住在一起，大家一起干活，一起分享食物。那个时候呢，还没有文字和数字，人们也不会写数字，不会做加法。说什么东西有多少个呢，就用手指头比划，就象这样（做动作：张开手掌，点手指个数，不会的话，学小朋友怎么点数），1，2，3，4，5。如果有5个东西呢，就会伸出5个手指头，说：有这么多个东西。

部落里有人去打鱼，有人去抓兔子，晚上回来的时候，首领就会点一下数量，到底今天一共抓了多少猎物呢。

一开始，部落里人不多，打来的猎物也不多。今天有人打来3条鱼，有人抓来2只兔子。一共抓了多少猎物呢。他们不会做加法，那怎么算总数呢？ （张开刚才那只手掌，从左侧开始点手指）1，2，3是3条鱼，（然后点后面2根手指）1，2是2只兔子。一共有几个，你能告诉我吗？

（能力强的小朋友，直接说5个，不强的，可以点手指说出5个。然后家长重复点手指）。

1，2，3，4，5，有5个猎物。你说得很对，3个加2个，是5个，这个就是你们学过的加法。

慢慢地，部落里人越来越多了，每天打回的鱼和兔子也越来越多。有一天打回了8条鱼，5只兔子。首领就开始用手指头点数了， 1，2，3，4，5，6，7，8， 有8条鱼，（接着数）1，2，哎呀，不好了，手指头不够用了。你说怎么办呢？

（也许小朋友会回答：可以把我的手指借给你用，或者：可以用你的脚趾，没关系，都可以）

很好，我们继续往下点数字，3，4，5。 好了，一共有10个手指（摇摇自己的10个手指），加3个手指（脚趾）那么多的猎物。

可是，还有一个问题啊。如果那天旁边没有人，可以借给他手指，或者天太冷了，穿着很重的鞋子和很厚的袜子，不方便把脚趾露出来，那怎么办呢？（做愁眉苦脸状，等待小朋友回答，看看是否有意外的惊喜。如果没回答，就继续往下说。）

有办法了。每次数到这么多个手指（摇摇自己的10个手指），我们就在旁边放一块小石头。一块小石头，就代表这么多个手指（摇摇自己的10个手指）。现在没石头，我们拿积木来代替吧。现在首领就不用发愁了，他可以说，今天抓了有一块石头加3个手指那么多的猎物。后来呢，那个“石”，就写成了“十”，一个“十”，就表示10个手指那么多的东西。这个呢，就是十进制的由来。

现在呢，一块石头，代表10个手指头那么多的东西，如果我有23个东西，我就会说：我有２块石头加３个手指那么多的东西。（放２块积木，再加３个手指，摇一摇）

如果你有19个糖果，你会怎么表示？ （等待小朋友用一块积木加9根手指，表示19， 可换其他数字做几次）。

某天呢，从米老鼠王国来了个小朋友，他叫米奇（借用下动画人物啊）。你知道米奇有几根手指吗？有8根，很好，就象这样。（把左右各一根手指往手心里藏起来，然后举着8根手指摇一摇，不信的，自己去看动画，就是8根手指）。

又有一个小朋友，从小鸡王国来的，叫喔喔。他的手指呢，是6根（把左右各两根手指往手心里藏起来，然后举着6个手指头摇一摇，其实呢，鸡的是脚爪，而且前3后1，实际是4*2=8个的，大家别拍我啊，希望能找到更好的替代品）。

米奇说，我带来了2块石头，加3个手指那么多的贝壳，想跟你换糖果，每个贝壳换一个糖果，你要准备几个糖果给他呢？

现在有2块石头，一块代表几个呢？ 一边在他眼前摇着8个手指头。代表8个。很好，那2块，是代表几个呢？ 16个。算的很对。还有3个手指。一共是多少个呢？一共是19个。要准备19个糖果。

很好，米奇说的，2块石头加3个手指那么多，原来就是我们说的19个啊。你刚才用一块石头加9个手指表示19，为什么米奇和你表示得不同呢？（等等看，小朋友能否回答出来。） 因为一块石头代表的手指数不同。

然后轮到小鸡喔喔了。他说，我带来了2块石头，加1个手指那么多的好吃的果子，想跟你换糖果，每个果子换一个糖果，你要准备几个糖果给他呢？

（摇动6个手指，等待小朋友回答，如果回答不了，就开始引导）

现在有2块石头，一块代表几个呢？ 一边在他眼前摇着6个手指头。代表6个。那2块，代表几个呢？ 12个。还有1个手指。一共是多少个呢？一共是13个。要准备13个糖果。

小鸡喔喔说的，2块石头1个手指那么多，是我们的13个呢。我们自己表示13，用一块石头加3个手指，小鸡喔喔和你表示的不同呢，你知道为什么吗？（等等看，小朋友能否回答出来。） 因为一块石头代表的手指数不同。

我们自己用的一块石头，代表10个。米奇说的一块石头，就是8个。小鸡喔喔说的一块石头，就是6个。 我们用的是十进制，你们老师都教过了。米奇用的，是八进制，小鸡喔喔用的，是六进制。一块石头代表的数字不同，就是不同的进制了。

哈哈：那还有其他进制吗？

妈妈：有啊，比如，在英语里，就用十二进制。一英尺（foot）等于12英寸(inch)，一打(dozen)等于12个。一罗(gross)等于12打(dozen)。

哈哈：（看看5个手指）那有五进制吗？

妈妈：有啊，罗马数字，就是五进制的，I代表1，V代表5，X 代表10。

哈哈：（看看10个手指，再看看10个脚趾）那有二十进制吗？

妈妈：有的，玛雅人就用二十进制，英文里有个词叫score，就是表示20的。玛雅人的每月是20天，一年有18个月，外加5~6天的过年。（有兴趣的，请自行拓展。用了过年，而不是祭祀日，是怕小孩不懂，又牵扯出去了。）

你知道还有其他进制吗？ （等待回答，如果无法回答，可以示意看墙上的钟）

哈哈：我知道了，时间是六十进制的，1小时等于60分钟，1分钟等于60秒。

妈妈：时间都是六十进制的吗？

哈哈：还有一天等于24小时，一年等于12个月。

妈妈：是的，中国古代用天干和地支来表示进制，天干是十进制，地支是十二进制，古代的时辰，就是用地支的十二进制，比如，子时，就是指半夜11点到1点，然后每2个小时1个时辰。一天24小时就是12个时辰。

天干和地支搭配起来，就有60组不同文字，分别代表1到60，用来表明年份，我们现在还在用。（有兴趣的，可以拓展开去，关于天干，地支的内容）

哈哈：还有其他进制吗？

妈妈：我们日常生活中常用的，是十进制，就是学校老师教你们学的。

但在电脑里就用的二进制。二进制只有0和1，一个表示通，一个表示断，或者一个表示高电位，一个表示低电位。

哈哈：那有没有一进制呢？

妈妈：当然没有了。就1个，还要什么进制？（一脑袋黑线啊。）

我出个题目给你做吧。59（）+60（）=1（），括号里填单位。

哈哈：想不出来。

妈妈：刚才你看的钟呢？

哈哈：我知道了，59分+60秒=1小时。

我也出个题目给你做。 6（）+24（）=1（）

妈妈：是不是，6天+24小时=1周？

……

 

对话里的部分内容，引自阿西莫夫的《我们怎样发现了-------数字》。对话内容有小部分虚拟，只是为了把知识点说完整。

这个故事最早的创意，来自于某位爸爸，为他小学三年级的儿子，在医院吊水等待的时候，讲的八进制的故事。那个帖子太长了，当初我爬楼爬了整整四天，现在实在没精力回去翻一遍，找到讲故事的那一楼。那给了我启示，写出了山风版的故事，在此对那位爸爸表示敬意。

当时在群里提到我教哈哈其他进制的时候，每个群友都说，这不可能，我知道他们的意思是：你不可能跟一个一年级的小朋友讲清楚多进制的。可我看到每个小朋友都能学会十进制的，学校里有教的，也都能学会带进位的加法，他们刚刚学完，考试完。

那么，既然十进制是能够被小朋友所理解，所接受的，为什么就不能理解和接受其他进制呢？八进制和十进制相比较，真的区别那么大，真的那么难以理解吗？

也许对于我这样的非教育系统，非数学系的毕业生，想法上没有那么多的束缚，几岁的小朋友该学到什么内容，能学到多少难度，我没概念，也不关心。小朋友万一听不懂里面的数学道理，那就当听个故事吧。想做就去做了，于是，就有了上面这个小故事。

想起来，这是我这个严重缺乏文学想象力的妈妈，为哈哈编的第一个故事。