解析几何微专题：轨迹问题

轨迹问题，是解析几何中最基本，也是最重要的题型之一，熟练掌握轨迹方程的求法，是掌握解析几何的基本技能。

本文旨在通过轨迹问题最常见的四种求法，以期能让学生体会处理轨迹问题的基本思路。

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直译法

如果题目中直接告之了动点所满足的条件，可用直译法。按照解析几何的基本思想——几何问题代数化，直接将几何条件转化为代数等式即可。

一般可分为五个步骤：

①建系设点：坐标系是几何问题代数化的基础，同时，求哪个点的轨迹就设出其坐标；

②寻找几何等式：按题意找出动点满足的几何等式；

③几何等式代数化：利用距离、斜率等公式，将几何等式转化为方程；

④化简：轨迹方程一般都是方程的最简形式；

⑤验证：根据曲线与方程的关系，要对所求方程及动点满足的条件进行比较，确保点和方程的解之间一定是一一对应的关系。

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定义法

定义法

一般而言，所求轨迹均为我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，可以根据这种结果去观察动点会否满足其中某曲线的定义。一般要关注题中的定点、定直线类型条件。

这种执果索因的思路，往往会大大优化解题过程中的计算量。

定义法求轨迹方程的步骤：

①判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义；

②设标准方程，求方程中的基本量；

③求轨迹方程；

④适当验证，确保完备性和纯粹性。

图形的折叠，属对称问题，且图中有定点，可考虑从定义的角度寻找突破。

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相关点法求轨迹方程的步骤：

①动点M(x,y)的相关点P(x₀,y₀)在已知曲线上运动；

②寻求关系式x₀=f(x,y),y₀=g(x,y);

③将x₀,y₀代入已知曲线方程；

④整理关于x,y的关系式，得点M的轨迹方程。

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参数法

参数法

如果动点的移动是因为某一参数的变化而引起的，可采用参数法。将动点的坐标用参数表示，然后通过消参达到求得轨迹方程的目的。

参数法求轨迹方程的步骤：

①选取参数k，用k表示动点M的坐标；

②得动点M的轨迹的参数方程：

③消参数k，得M的轨迹方程；

④由k的范围确定x,y的范围，确保完备性和纯粹性。

轨迹问题，根据计算量上的考虑，一般首先验证能否用定义法。此时要关注题给条件中是否含有定点和定直线的条件，同时要充分利用某些几何性质（线段垂直平分线、角平分线、平行线等）积极寻找隐含的定义条件；如果不能用定义，则要研究动点运动的原因，考虑采用相关点法或参数法。

完

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