高一新生福利 | 高三老师这样讲“二次方程根的分布”问题

高三一轮复习-题型讲解

作为基本初等函数中最受老师欢迎的二次函数，一直是老师命题的热点，而一元二次方程根的分布问题，也一直备受老师关注、学生困扰。究其原因，主要在于学生对数学语言的理解和转化能力不足。

今天我就根的分布问题常规处理的方法做些归纳，以供大家参考。

首先，要明白几个相关的知识点：

零点定义：一般地，对于函数y=f(x)，我们把使得f(x)=0的解x0叫作函数f(x)的零点。

根据这个定义，我们有下面几点理解：

(1)零点不是一个点，而是一个数。

(2)f(x)有零点⇔方程f(x)=0有解⇔函数y=f(x)图像与x轴有交点。

解法一：用求根公式

从最朴素的想法来说，既然说的是根的分布，那我们如果直接求出了方程的根，当然就可以直接利用条件得到相应的不等式(组)，从而解决问题。

分析：首先要确保方程有解，其次可以考虑求出方程的根，最后根据条件写出相应的不等式（组）。

当然，如果这个含参数的二次三项式能够分解因式，那就更好了。但就算不能分解因式，也不要紧，因为对于二次方程，我们还有求根公式的！

点评：这种直接求根的办法，思路够简捷，但相信却是很多同学想不到的。因为，大部分同学总认为自己可以找到一些高大上的方法，而不屑于用这么低级的办法吧? 但有时，最基本的方法反而最保险，因为一定是可以解决问题的。

但是，这种方法虽好，对解不等式的能力要求较高，对于无理不等式，相信还有很多学生是不习惯的吧?这也就是所谓的有得必有失吧。

解法二：用韦达定理

如果从题目条件和结论的关系上来分析，条件说的是对根的要求，结论要求得是参数系数m的范围，显然符合韦达定理的特点“根与系数的关系”。所以，如果条件允许，不妨可以考虑用韦达定理处理。

点评：显然，韦达定理的使用，大大优化了解法一的计算过程，减少了计算量，这是非常值得肯定的。但是我们也要知道，韦达定理的使用对条件的要求是比较高的，必须要确保在条件转化过程中，两根的系数能始终保持一致，否则韦达定理就不容易达成了。

当然，作为老师来说，还是想提醒同学，你还记得在处理第二个问题时，当年常犯的错误吗?

解法三：用分离参数法

其实，做了很多求参数的范围问题，你就不难发现，分离参数的办法往往是解决这类问题最有效的办法，所以，我总是把它作为首选方法。

点评：显然，分离参数后，将原方程根转化为两个函数图像的交点，从而通过水平直线x=m与曲线位置关系得到参数m范围，直观而精确，值得提倡。

解法四：部分分离参数

分离参数当然是个好东西！但是，是不是有些基本功不太好的同学，就觉得有些郁闷了呢?如果你不熟悉分式型函数的图像作法，虽然知道这种方法很好，但可能会更无奈了吧。

这时候，不妨可以考虑下分离参数之前的图像能否做出来，反正方程的根都是两图像的交点呗。

我把这种方法称为“部分分离参数法”，其实，也就是没有完全分离而已。

点评：部分分离参数的方法，可以解决作分式型函数图像的问题，但是对图像的观察能力要求反而更高了。毕竟，直线的旋转远没有水平直线的上下平移让我们感觉更直观，而且又涉及到了直线与曲线相切问题的处理。

所以，如果想用它，要好好掂量一下自己的图形处理能力。

解法五：数形结合法

其实，上面的方法中也涉及到了数形结合，而我下面的“数形结合”，主要是咱们老师在课堂上所讲的“根的分布问题”的处理方法。

点评：这种方法的主要思路是利用方程、函数和不等式三者之间的关系，将方程根的分布问题转化为对函数图像的定位，而图像的定位可以利用不等式来约束，其原理为函数零点的存在性定理，充分考查了学生数学三大语言的转换能力。