数学是人类智慧的结晶，是人类文明的重要组成部分。无论是远古时期的屈指计数，还是现代社会电子计算数字文明的高速发展；无论是基于农耕文明生产生活实际需求的数学计算，还是后工业文明大数据模型的普遍应用，在人类历史的文明长河中，数学如同标识人类文明进步历程的标尺不断延伸，一代代数学家在前人的基础上开拓创新、砥砺前行，共同建构了辉煌壮丽的人类数学文明史。中国是一个历史悠久、文化灿烂的文明古国，中国古代数学以其独特的起源模式和发展历程成为了世界数学史研究中不可或缺的重要组成部分。近日，中国科学院自然科学史研究所研究员邹大海以《竹简上的数学世界》为题的云课程，阐述了出土简牍上的数学资料价值与中国古代社会的数学成就。
古老的简牍蕴含丰富的数学资料
现代社会主要以纸作为记录信息和知识的载体，近几十年来又出现计算机、网络等高科技手段。纸的发明很早，但具有重要实用和推广价值的造纸术是公元2世纪初年由蔡伦发明的。大约又过了两个世纪，纸才成为主要的书写材料。在此之前，中国古代曾使用过甲骨、铜器、石头、简牍和布帛等来记录信息和知识。其中前三样用在特殊的场合，不具有日常使用的价值。布帛使用起来很方便，但价格昂贵，不便推广。所以在纸流行以前，中国古代主要使用简牍作为书写材料。简牍是由竹子、木头加工成的片状物，材料易得、成本低廉、加工也相对容易，在知识和文化的传播中发挥着重要的作用。历史研究表明，我国古代的简牍主要使用于公元3世纪及以前，而这一时期涵盖人类文明进程的第一轴心时期。近代中国对简牍的重视源于大约120年前，在中国西北的发现，此后又不断有新的简牍出土，引起了学术界的广泛关注，对中国历史和文化的研究产生了深远的影响。
然而，在中国数学史研究中，简牍的作用曾长期非常有限。最早是王国维先生整理了九九残简，也就是后来我们所熟知的乘法口诀，大家耳熟能详的俗语“小九九”即源于此。《居延汉简考释释文之部》出版后，严敦杰先生发掘出了其中与数学相关的材料，并且和相关传世文献进行对比研究，发表了《居延汉简算书》，但在此之后很长时间内，学者对此领域的研究多未超出严敦杰先生的研究范畴，这种沉寂的状态延续了四十年。直到1983年12月至1984年1月，在湖北江陵张家山247号汉墓出土的整部竹简算书《算数书》，原有的沉寂状态才得以改观。此书共存190枚简，原有书名“算数书”三字，题写在一支简的背面。《算数书》共69个标题，统领着各部分内容。出土《算数书》的汉墓约在吕后二年即公元前186年下葬，距今已有两千二百年。此书于2000年9月在《文物》上公布，很快引起国际中国数学史界的重视，出现了一批相关成果。说来也怪，进入21世纪以来，又陆续发现了多种简牍数学文献，其中清华大学藏战国竹简“大九九”《算表》、湖南大学岳麓书院藏秦简中的数学著作《数》已全文公布，而睡虎地汉简数学著作《算术》、北京大学藏秦简中的多部数学著作等已公布了部分内容。这些新材料使得中国古代数学史的研究走向了一个前所未有的繁荣局面。下面就让我们在邹大海老师的带领下，品味原汁原味的中国古代先贤的数学智慧。
2000多年前原汁原味的数学智慧
中国古代一直使用十进制，在甲骨文中数字的特殊记法，已有位值制的含义，被称为准十进位值制。算筹是中国古代长期使用的主要计算工具，算筹记数法是成熟的十进位值制记数法，其产生在春秋早期或更早。作为实物，算筹就是长条形小棍，用竹、木制成，也有用金属甚至象牙制作的，而以竹制为主。战国时代的墓葬中时有算筹的发现。比如，甘肃天水县公元前三世纪秦国墓出土二十一根圆形竹棒，长二十厘米，径零点三厘米；更早的长沙左家公山公元前四世纪楚墓出土了竹算筹，置于竹笥中，与笔、砝码和梳妆用具放在一起。
算筹记数时采用纵、横两种形式，表示1至9的基本数字，非常直观明了：1至5，是几就用几根算筹；6-9，用一根算筹放在上方表示其中的5，其余差几就放几根；不论纵式、横式，表示5的算筹总是在上方。算筹记录多位数字时，采取从低位到高位以纵式、横式相间的方法排列，如遇到0，则空着该位。这种算筹记数法，与现代流行的印度-阿拉伯数字记数法本质上是一样的，非常简洁明了。中国古代用“九九”口诀配合算筹记数和运算，功能强大，不仅可以进行四则运算，而且可以开方甚至表示方程、方程组并进行求解。后来的珠算盘记数和运算的方法，就是将算筹的记数和运算方法加以改造而形成的。算筹的使用一直延续到明代，对我国古代数文化的发展产生了深远影响。
湖南省西部龙山县里耶镇一号古井第六层中发现的记录“九九”表的木牍，说明在先秦时期“九九”乘法表已经广为流传。清华大学藏战国竹简《算表》由21支简复原拼合而成，是一特殊的表格。它最上一行从左至右、最右一列从下至上都分别写着表示从1/2，1，2，……，10，20，……90的文字，上行之下、右行之左分别各有一排小孔，用来穿绳。各行、各列的交叉处写着乘积，所以这个表直接给出了1/2，1，2，……，10，20，……90中任意两个数字的乘积。这个表给出的乘积种类远超过九九口诀，所以被称为“大九九”。它可以用来做乘除运算，现代学者还可以用它来开方，但当时未必有这样的功能。这个算表进一步证明，“九九”是早已有之的。
张家山汉简《算数书》包括十分丰富的数学知识，涉及整数和分数四则运算、比例、面积、体积、负数、盈不足（双设法）等，很可能还有一个勾股类问题。岳麓书院藏秦简《数》，是首次发现的秦简数学著作，它与《算数书》大体上相似，但也有一些特色，比如有很多租税类问题、有比较完整的衡制，值得注意的是它有一不定问题，用盈不足术来求定解，非常独特，在以前的数学文献中从来没有出现过类似的算题。
竹简数学著作中，记录大量有关比例、比例分配、面积、体积等算法和相应的算题，证明先秦时期这些算法已经很成熟了。比如，对于圆台体积的算法在岳麓秦简《数》和张家山汉简《算数书》都有记载。岳麓秦简《数》记载：“乘园（圆）亭之述曰：下周耤之，上周耤之，各自乘也，以上周壹乘下周，以高乘之，卅六而成一”。张家山汉简《算数书》：“睘（圜）亭圜亭上周三丈，（大）[下]周四丈，高二丈，积二千五十五尺卅六分尺廿。术曰：下周乘上周，周自乘，皆并，以高乘之，卅六成[一]。今二千五十五尺[卅六]分[尺]廿。”如果用C1、 C2分别表示上、下底面周长，h表示高的话，
，这实际上都是取圆周率为3而展开的计算，如果不考虑圆周率3的误差，这个公式是完全正确的。在邹大海先生看来，出土数学文献资料展现新的数学内容，可以验证以前利用传世文献所得出的结论和所用的研究方法，进而改进研究方法和思路。
简牍数学文献有助消解对中国早期数学智慧的某些疑虑
由于中国古代流传至今的数学著作的最早版本是宋代的刻本，流传过程中几经抄写、印刻，难免出现变化甚至于差错，所以书中的有些内容，特别是比较高级的内容，会不会是后人加上的？这一点容易让人生疑。另一方面，早期数学著作的成书年代，有的古人没有记载，有的虽有记载，但记载的成书年代与记载人的年代存在两三个世纪的差距，所以对这些著作的成书年代，也容易引起怀疑。现代学者对这些问题，都曾有过不同的判断，有的西方学者的怀疑甚至更甚。
邹大海先生根据简牍数学文献对上述问题进行了考察。他以《九章算术》为例进行了分析。《九章算术》是经过长期的代际传承后流传下来的中国古代数学经典。公元3世纪，刘徽记载说，《九章算术》有先秦的祖本，秦始皇焚书（其实还应加上秦末的战乱）导致它受到损坏；到了西汉，张苍、耿寿昌收集残存的文本经过整理和删补，形成了《九章算术》，所以它成书于西汉时期后期。《九章算术》几经抄写、印刻才流传至今，汉代的原本早已失传，现存最早的《九章算术》是南宋时期的翻刻本，这距离《九章算术》最初成书已有1200多年的历史。通过将张家山汉墓《算数书》、岳麓书院藏秦简《数》等数学文献与传本《九章算术》进行比对，可以发现《九章算术》中出现的很多数学方法和问题不仅在《九章算术》最后成书的公元前1世纪可以出现，甚至很多远在先秦时期就已经产生了。例如，对于大家熟悉的鸡免同笼之类的问题，中国古代提出了整套的方法，称为盈不足术，在《九章算术》中专设一章，章名就叫“盈不足”。老一辈学者把这种方法追溯到《九章算术》的成书年代。邹大海先生多年前根据张家山汉简《算数书》里面出现的盈不足问题的特点，分析出《九章算术》里的盈不足方法实际上在《算数书》里已得到了应用，并推论盈不足方法最初出现的时间还要从西汉初年往前推到更早的年代，而后来发现的岳麓书院藏秦简《数》进一步证实了这一点。
科学可以怀疑，科学也需要怀疑，但由怀疑直接滑落到否定，则未免失于草率。实际上，通过充分占有和运用原始文献，特别是有明确时间尺度的出土数学文献资料，完全可以验证传于后世的早期文献中的记载是否出于后人的附会和杜撰。对于史料的怀疑和审查是必要的，但是怀疑一个事物在某一时代存在与肯定其存在，照样需要基于切实的证据和严格的推理。
“数学是什么？”是人类一直思考的命题。千百年来，无论是学者，还是门外汉，都很难从哲学层面给出相对唯一性的答案，因为数学是什么，要靠从事数学研究的经验来回答，随着时代的变迁，数学的含义和内容也会发生质的改变，而人们的生产生活也伴随着数学的进步而产生了根本的变革。“从哪里来？到哪里去？”是人类的永恒思考。无论现代数学、现代科技如何发达，当我们从古老的出土简牍文献中重新梳理中华先民的数理智慧的时候，总能给我们以充满理性曙光的光明指引。
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