幽灵无穷小：第二次数学危机
“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切。”牛顿一生好斗，几乎从未输过，但他未曾料到，在他逝世后竟有人乘机揪起了他的“严格性”小辫子。
1734年，英国大主教贝克莱写了一本书,对当时的微积分一连发出67问，直捣微积分的基础，攻击的对象正是无穷小量在解释上所带来的致命“严格性”缺陷。
在古典世界里，牛顿他们赋予了导数和微分一种直观通俗的意义，导数是两个微小变量的比值：dx/dy，dy和dx都是无穷小量。例如，在求函数y=x²的导数时,计算如下：
虔诚的基督徒贝克莱毫不客气地讽刺牛顿在处理无穷小量时简直是睁着眼睛说瞎话，第一步，把无穷小量dx当作分母进行除法(分母不能为0)，并将分母dx约分；第二步,又把无穷小量dx看作0，以去掉那些包含它的项，+dx中的dx被直接忽略了。所以，无穷小量究竟是不是0？
一会儿为0，一会儿又不能为0，这不是前后矛盾吗？不仅如此，在当时的人看来，无穷小量比任何大于0的数都小，却不是0，这不是违背了阿基米德公理吗？
阿基米德公理又称为阿基米德性质，也称实数公理，是一个关于实数性质的基本原理。如果阿基米德公理是错的，那么整个数学界大概都无法建立。其定义为:对任一正数ε,有自然数n满足1/n<ε。而无穷小量的解释似乎是在阐述“不存在自然数n满足1/n<ε”。
这样一个被人诟病的无穷小量，真的能支撑起微积分这项伟大的成果吗？这个矛盾，史称贝克莱悖论，当时不少学者其实也认识到了无穷小量带来的麻烦。但是，这样一个悖论，不仅牛顿解释不清，莱布尼茨解释不清，整个数学界也没人能解释得清。
这样一个人为的概念，使数学的基本对象—实数结构变得混乱，数学界和哲学界甚至为此引发了长达一个半世纪的争论，它造成了第二次数学危机。
现代理论的特点之一就是“叙述逻辑清晰,概念内涵明确，不能有含糊，”而微积分的诞生并不是严格按照“逻辑线路”线性发展而是通过实际应用归纳推理产生的，这就很难经得起演绎推理的逻辑推敲。所以，在牛顿和莱布尼茨之后，数学家们为此做出了无数努力，最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人解决了这个问题。
解决办法就是，抛却微分的古典意义，基于极限的概念，重新建立了微积分。
19世纪，法国数学家柯西确立了以极限理论为基础的现代数学分析体系，用现代极限理论说明了导数的本质，他将导数明确定义为一个极限表达式。
设函数y=f(x)在点f的某邻域内有定义，令x=x+△x，△y=f(x+△x)-f(x)。若极限 lim y=limf(x0+△x)-f(x)=f(x)存在
且有限,则称函数y=(x)在点x处可导，并称该极限为函数y=f(x)在点x处的导数，记作f(x)；否则，则称函数y=f(x)在点x处不可导。
极限的概念使数学家们对无穷小量的争议逐渐偃旗息鼓。直观通俗的古典微分定义也被重新诠释，它不再局限于微小变量，在极限助攻下成了一个线性函数，用来表达函数的变化意义。
不过也有人抨击极限lim的模棱两可，但当“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯用ε-δ语言一举克服了“limit困难”后，那些质疑的声音也都不再具有任何威慑力。
魏尔斯特拉斯为极限量身打造了一套精确完美的定义。
设函数f(x)在x的某个“去心邻域”内有定义,则任意给定一个ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-xº|<δ时,不等式|f(x)-A|<ε都成立，则称A是函数f(x)当x趋于x时的极限，记成
lim f(x)= A
至此，第二次数学危机圆满度过。
那个一心想推翻整个微积分理论的顽固主教贝克莱，无论如何也想不到自己最终却促进了数学理论的发展，微积分也由此稳坐数学界的“霸主”地位。
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