流体力学中N-S方程的发现历程

USTC Tanhua Li

摘要：

在流体力学中，有一个重要的方程便是，Navier-Stokes方程（Navier-Stokes equations），是描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。泊松在1831年提出可压缩流体的运动方程。N-S方程由法国物理学家Navier和英国科学家Stokes共同提出。三维空间中的N-S方程组光滑解的存在性问题被美国克雷数学研究所设定为七个千禧年大奖难题之一。本文依照时间线和研究工作的先后承接关系，讲述了N-S方程的发现历程。

关键词：N-S方程流体力学

1 引言

流体力学是一门研究流体运动、变形和相互作用的物理学分支。在流体力学的研究中，描述流体运动的方程是非常重要的工具。其中，最为著名和广泛应用的方程之一是N-S方程。N-S方程描述了粘性流体在运动过程中的速度场和压力场的变化，为流体力学的发展和应用提供了重要的理论基础。

2 N-S方程的发现历程

2-1 发现背景

自牛顿提出的科学原理被广泛接受之后，流体力学的发展进入了快车道，其中Euler(1707-1783)做出了重大贡献。^[1]提出了描述流体运动的欧拉法（与拉格朗日法并列为流体运动的两种描述方法），并在1775年推导出流体动力学的欧拉方程（N-S方程的前身），同时提出了物质导数的概念。欧拉的方程完全正确，但只适用于无黏性流体,也就是黏性为零的流体。黏性是量化流体有多黏的一种属性,比如糖浆的黏性较高,而水的黏性就较低。几乎所有流体都有不同程度的黏性,这使得欧拉方程的应用很有限。Navier作为材料力学领域的领军人物，很清楚粘性力的作用，在1821年完成对欧拉方程的改进，引入粘性力。Stokes也在研究这个问题，1845年发表论文《On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids》，推导出一组考虑粘滞力的流体动力学方程。

2-2 发现历程

2-2-1 Euler：理想流体的运动方程

十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨开创了对人类影响深远的微积分，欧拉是其最重要的应用者和推进者。自欧拉之后，微分方程及其求解方法成为力学等众多学科研究的重心。欧拉也将微分方程应用到了流体力学的领域，提出了对后世影响深远的欧拉方程。

2-2-2 Navier：承前启后者

很长时间以来，人们就认识到流体的内摩擦是导致欧拉方程偏离实验的主要原因，比如我们熟知的达朗贝尔佯谬。尽管如此，却很少有学者试图将粘度的影响包括在流体的运动方程中。Navier虽然一生绝大部分的时间都在和桥梁道路打交道，但是他对后世最大的影响仍然在于流体力学的核心“N-S方程”。

1822年， Navier在文章中提到，欧拉方程将流体视为分子集合，易于自由运动且彼此之间不存在任何抵抗，这种假设只适合于完全均匀的流动——即当所有分子保持相同的运动时，分子间的作用相互抵消，不会影响流体的状态；但分子彼此出现相对移动时，情况则会有所不同。从大量的经验来看，压力并没有明显的影响运动流体各部分之间的分子作用所产生的阻力，而这些阻力更多的来源于相邻分子的速度大小或方向的差异，即分子间的相对速度。由此Navier进一步推导了相邻分子的运动而作用在分子上的力的分量表达式：

(式2-1)

即流体分子的附着力，体现为宏观的粘度。

2-2-3 Cauchy：另一条路径

不同于Navier对流体粘性的研究，Cauchy则聚焦于对欧拉方程的变换。他在欧拉方程中引入流体微团的应力张量的概念，从而推导了著名的Cauchy动量方程（式2-2），虽然形式更加复杂但是也将流体运动不同于固体运动的规律准确的呈现出来。

   (式2-2)

2-2-4 Stokes：N-S方程诞生

Navier在发布他对于运动流体粘性的思考之后的很长一段时间内，并未得到学界的关注和认可。Stokes结合Navier对粘度的思考和Cauchy的张量思维，，推出了引无数流体人尽折腰的“N-S方程”。

为了推导牛顿流体一般形式的运动方程，Stokes将牛顿粘性定律从一维扩展到三维，提出了三个假设：流体是各向同性的；流体静止时，法向应力等于静压强；应力与变形率成线性关系。根据上述假设便可推导流体应力的本构关系，并代入上述的流体运动微分方程，即可推导N-S方程：

图1 Navier-Stokes Equations from NASA

3 结论：成就和挑战

雷诺实验（1883）发现的两种流动状态和莱特兄弟的动力飞行（1903）是19~20世纪之交出现的流体力学两朵“乌云”，它们都是源于对N-S方程的认识不足。为探究N-S方程之奥秘，科学家一个多世纪以来在N-S方程数学理论及其工程应用方面取得重大进展：获得层流条件下N-S方程的精确解和渐近解，包括边界层理论和Stokes问题及其高阶近似；^[4]通过求解N-S和相应的非线性方程，揭示因流动失稳导致层流向湍流转捩的机理；^[5]掌握充分发展湍流的统计行为、相干结构及其有效模拟和控制方法。

N-S方程的故事虽然结束了，对于后来的流体工作者来说，却又是一个崭新的开始。方程中的对流项具有二阶非线性，如同一座大山一样挡在求解者的面前。而当N-S方程面对更加混乱的湍流时，似乎也变得更加无解。但绝大多数学家和物理学家相信，湍流的复杂性应该就隐藏在N-S方程的解里面。

参考文献：

[1] N-S方程的故事——流体力学的“白月光[OL]. [2021-8-31]. https://zhuanlan.zhihu.com/p/347903616

[2] 窦华书：湍流及流动稳定性的公理、推论和定理[OL]. [2023-1-16].

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1372119.html

[3] Fefferman, C.L. Existence and Smoothness of the Navier-Stokes Equation; Clay Mathematics Institute: Peterborough, NH, USA, 2000; pp. 1–6.

http://www.claymath.org/millennium-problems/navier%E2%80%93stokes-equation

[4] Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes Equations Leading to Turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3),2021, 527-553. https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063      https://arxiv.org/abs/1805.12053v10

[5] Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339