§1.1.1集合的含义与表示
一. 教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
(5)培养学生抽象概括的能力.
2. 过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3. 情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二. 教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
三. 学法与教学用具
1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2. 教学用具：投影仪.
四. 教学思路
(一)创设情景，揭示课题
1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?
引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.
2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
（二）研探新知
1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
(1)1—20以内的所有质数；
(2)我国古代的四大发明；
(3)所有的正方形；
(4)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
(5)到一个角的两边距离相等的所有的点；
(6)方程的所有实数根；
(7)不等式的所有解；
(8)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2．教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）(简称为集)。
4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示.
(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维
1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
2．教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数；
(2)我国的小河流.
让学生充分发表自己的建解.
3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.
4.教师提出问题，让学生思考
如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用表示高一(3)班的一位同学，是高一(4)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作.
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.
6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：
(1)要表示一个集合共有几种方式?
(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?
(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
五．典例剖析
例1. 用例举法表示集合 答案：
例2.下列命题：若，则； 表示只有一个元素的集合；
方程的解的集合可表示成；其中正确的命题个数是（ ）答案：(2)
例3．已知,且，求实数的值。
解：或。或。但时，，与集合中元素的互异性矛盾，
六． 随堂练习
1．已知集合中的三个元素可成为的三边长，
那么一定不是 答案：D_
2．设都是非零实数，可能取的值组成的集合是
3．已知，且，则的值为
4．对于集合，若，则，那么的值为__或_
5．给出下面三个关系式：其中正确的个数是_
6．集合，则集合中元素的个数是
7．设集合，则下列关系是成立的是___
七．归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1．本节课我们学习过哪些知识内容?
2．你认为学习集合有什么意义？
3．选择集合的表示法时应注意些什么?
八．承上启下，留下悬念
1．课后书面作业：第5页1，2题。
2. 元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？
集合的含义与表示测试
一、填空题
1. 非空集合M关于运算满足：（1）对任意的a,，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称M关于运算为“理想集”．现给出下列集合与运算：
①M＝{非负整数}，为整数的加法；②M＝{偶数}，为整数的乘法；
③M＝{二次三项式}，为多项式的加法；④M＝{平面向量}，为平面向量的加法．
其中M关于运算为“理想集”的是____________．（只填出相应的序号）
2. 设，在点集M上定义运算，对任意，
，则. 已知M的直线上所
有的点的集合，= .
3. 已知集合，试用列举法表示集合=
4. 已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 .
二、选择题
5. 有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为或；（3）方程的所有解的集合可表示为；（4）集合是有限集. 其中正确的说法是
A. 只有（1）和（4） B. 只有（2）和（3）
C. 只有（2） D. 以上四种说法都不对
6. 给出下列5个关系：∈R，∈Q，0∈{0}，0∈N，π∈Q，其中正确命题的个数为
[ ]
A．4 B．3 C．2 D．1
7. 下列对象能构成集合的是
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员
②所有的钝角三角形
③2005年诺贝尔经济学奖得主
④大于等于0的整数
⑤北京师范大学的所有聪明学生
[ ]
A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④
8. 已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x?R}的子集的个数为
(A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定
9. 设对任意实数k，关于x的不等式( k 2 + 1 ) x ≤ k 4 + 2的公共解集记为M，则（ ）
（A）
（C）
10. 若集合中元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
11. 设集合，定义集合
，已知,则的子集为
A. B. C. D.
12. （09年天门中学月考文）已知，集合，则=
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
13. （09年湖北八校联考）与集合相等的集合是 （ ）
A． B．
C． D．
14. （09年湖南师大附中月考文）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ( )
A．7 B． 8 C．15 D．16
三、解答题
15. 已知集合，试用列举法表示集合。
16. 设S＝{x|x＝m＋n，m、n∈Z}．
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个x1、x2，则x1＋x2、x1·x2是否属于S？
17. 若1∈{x|x2＋px＋q＝0}，2∈{x|x2＋px＋q＝0}，求p、q的值
答案
一、填空题
1. ①④
2. 36
3.
4. -1
二、选择题
5. C
6. B
解析： ∈Q，π∈Q不正确．
7. D
解析：由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明学生”不确定，所以不能构成集合．
8. C
9. B
10. D
11. D
12. C
13. C
14. C
三、解答题
15. 解析：由题意可知是的正约数，当；当；
当；当；而，∴，即 ；
16. 解析：(1)a是集合S的元素，因为a＝a＋0×∈S．
(2)不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，m、n、p、q∈Z．
则x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)＝(m＋n)＋(p＋q)，∵m、n、p、q∈Z．∴p＋q∈Z，m＋n∈Z．∴x1＋x2∈S，
x1·x2＝(m＋n)·(p＋q)＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，m、n、p、q∈Z．
故mp＋2nq∈Z，mq＋np∈Z．
∴x1·x2∈S．
综上，x1＋x2、x1·x2都属于S．
17. 解法一：∵1∈{x|x2＋px＋q＝0}，2∈{x|x2＋px＋q＝0}，
∴1，2都是方程x2＋px＋q＝0的解，即1，2都适合方程，分别代入方程，
得
②－①得3＋p＝0，∴p＝－3．代入①，得q＝－(p＋1)＝2．
故所求p、q的值分别为－3，2．
解法二：∵1∈{x|x2＋px＋q＝0}，2∈{x|x2＋px＋q＝0}，
∴1和2都是方程x2＋px＋q＝0的解．由根与系数的关系知
∴p＝－3，q＝2．故所求p＝－3，q＝2．
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