命题的形式及等价关系(1)
一、教学内容分析
命题的有关概念在初中平面几何中已学过，本章在此基础上对命题作较深入的研究，特别强调要确定命题真假都必须证明。举反例既可以确定一个命题是假命题，同时它又是一个重要的数学思想。
推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系。教材用比较通俗的说法给出了推出关系的意义及符号。
教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。
本小节首先从初中数学的命题知识入手，给出推出关系，等价关系的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。
二、教学目标设计
理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。
三、教学重点及难点
理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。
四、教学用具准备
多媒体
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 复习回顾
在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。
命题：表示判断的语句。真命题：正确的命题。
假命题：错误的命题。
命题 “全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？
本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。
[说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区。
二、讲授新课
1．命题
例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（课本例题）
1.个位数是5的自然数能被5整除；
2.凡直角三角形都相似；
3.上课请不要讲话；
4.互为补角的两个角不相等；
5.你是高一学生吗？
解：1.真命题
它可以写成10k+5的形式（k是非负整数），而10k+5=5（2k+1），所以10k+5能被5整除。
2.假命题
取三个角分别是900、450、450的直角三角形，它与三个角分别是900、600、300的直角三角形不相似。
3.不是命题 不是判断语句。
4.假命题
取一个角为900，另一个角也为9000，它们是互补的，但它们相等了.
5.不是命题 是疑问句，不是表示判断的陈述句。
结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。
②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）
[说明]：构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段。
③真命题的确定：作出证明，方法
[说明]:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法.
2、推出关系：
一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α?β表示，读作“α推出β”。换言之，α?β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。
例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“?”表示α、β之间关系吗？（补充例题）
解：α?β关系成立，但反过来不行。
例3：在下列各题中，用符号“?”或“”把α、β这两件事联系起来。（补充例题）
1. α：实数满足，β： 或。 （“αβ”）
2. α：，β：（为全集）。（“α?β”）
3. α：，β：。（“αβ”）
4. α：，β：。（“β?α”）
3、α与β等价：
如果α?β，β?α，那么记作，叫做α与β等价
4、传递性：α?β，β?γ，则α?γ
三、巩固练习：
课本P/17 练习1.4（1）——1，2
四、课堂小结：
本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命题的推出关系.
五、作业布置：
1、书面作业：P/20，习题1.4——1
2、拓展作业：在下列各题中，用符号“?”或“?”或“”把α、β这两件事联系起来：
（1） α：适合方程，β： ；
（2） α：，β：；
（3） α：，β：；
（4） α：集合，β：。
六、教学设计说明
（1）命题的有关概念在初中平面几何中已经学过,因此可以通过具体的例子帮助学生回顾旧知,为以后进一步研究命题做好铺垫。在推出关系的教学中,要强调命题的条件和结论,要结合并集的概念强调“或”的三层含义。
（2）理解推出关系具有传递性，为以后学习充要条件做好准备。
（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。
本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号。
命题的形式及等价关系(2)
一、教学内容分析
教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。
本小节由命题条件的改变、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。接着，通过具体的例题练习讲述四种命题的关系，最后，给出等价命题的定义，提供了一种证明的方法，并通过具体的例题给出反证法。
二、教学目标设计
（1）理解四种命题的概念；
（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；
（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；
（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想 方法。
三、教学重点及难点
理解四种命题的关系；
体会反证法的理论依据。
四、教学用具准备
多媒体教室
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一．复习提问：
（1）什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？
（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？
（3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件与结论各是什么？
二．讲授新课：
关于四种命题
1、概念引入
在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论是“四边形的对角互补”。 如果我们把以上命题作以下变化：
（1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形” 作为结论，则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。
我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。并且它们互为逆命题。
（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四边形对角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。
像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命题互为否命题。
（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四边形不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。
像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命题互为否命题。
2、概念形成
由以上例子归纳出四个命题的一般形式：
原命题：
逆命题：
否命题：
逆否命题：
并在四种命题之间的相互关系如下：
3、概念运用（例题分析）
例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。（课本例题）
命题A：如果两个三角形全等，那么它们面积相等；
命题B：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等。
（过程略）
[说明] 我们从以上的实例中发现：原命题与逆否命题是同真同假的；逆命题与否命题是同真同假的。我们可以用证明一个命题的逆否命题来证明原命题。
4、巩固练习
课本P19，练习1.4(2)
5、概念深化（拓展练习）
写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性。（补充）
①负数的平方是正数；
②正方形的四条边相等；
③若a=0，则ab=0；
④若a=b，则ac=bc；
⑤全等三角形一定相似；
⑥末位数字是零的自然数能被5整除；
⑦对顶角相等；
⑧过半径的端点不与半径垂直的直线，不是这个圆的切线；
[说明] 1、原命题为真，它的逆命题不一定为真。2、原命题为真，它的否命题不一定为真。3、原命题为真，它的逆否命题一定为真。并可由此引入等价命题。
关于等价命题
1、概念引入（见上）
2、概念形成
如果,是两个命题，，那么,叫做等价命题。
3、概念运用
例3 已知、分别是的，的角平分线，。求证：。（课本P19）
（过程略）
[说明]1、 反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。2、反证法证题的步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
4、巩固练习
课本P20，练习1.4(3)
三、课堂小结：
1、四种命题的概念及形式
2、四种命题之间的关系及同真同假性。
四种命题的真假关系：原命题为真
四、作业布置
课本P20，习题1.4—2，4，8，10。
七、教学设计说明
（1） 由命题的条件、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题和逆否命题。四种命题形式的构成虽然不难理解，但给出一种命题形式，要正确写出它的另外三种命题形式却不容易。解决这个难点的关键是分清命题的条件和结论。必要时可先将命题改写成“如果…，那么 …”的形式。
（2） 另外，在写一个已知命题的否命题或逆否命题时，要把一个断语正确地变成它的否定断语，初学者在这些地方时常出错。一般地，“是”的否定断语为“不是”；“”的否定断语为“”；“”的否定断语为“<”；“都是”的否定断语为“不都是”或“至少有一个不是”；等等。具体解题时，不要生搬硬套，要仔细思考，以保正确。
联系客服
