四种命题的形式
1、命题
什么叫命题?
能够明确判断真假的陈述性语句,叫做命题。
其中,判断为真的语句,叫真命题,判断为假的语句,叫假命题。
命题的结构?(条件+结论)
如果…,那么…。
问题1:我是你的数学老师。 真
X>15 不是命题
全等三角形的面积相等。 真
3是10的约数吗? 不是命题
两直线平行,同位角相等。 真
上课请不要讲话 不是命题
注:(1)疑问句,祈使句,感叹句不是命题。
(2)要判断一个语句是不是命题,关键是能不能判断真假。
(3)判断命题真假的方法有:逻辑推理法、要证明命题是假命题,只需要举出满足条件,不满足结论的例子即可;要证明命题为真,就需要证明满足命题的条件,就一定能推出命题的结论。
2、推出关系
如果α成立可以推出β成立,那么就说由α可以推出β,记作:α=>β,换言之,α=>β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题。
如果α成立不能推出β成立,记作:α≠>β,换言之,α≠>β表示以α为条件、β为结论的命题是假命题。
3、四种命题形式
问题2:判断下列命题的真假,你能发现各命题之间有什么关系?
①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; (如果α,那么β)
②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等; (如果β,那么α)
③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等; (如果,那么)
④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等; (如果,那么)
注: 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系
两个命题为互为逆否命题,它们的真假性相同
例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断各命题的真假。
例2.写出命题“两直线平行,同位角相等”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断各命题的真假。
4、否命题及命题的否定
否命题是既否都条件,也否定结论,而命题的否定只否定结论。
(1)常见词语的否定形式
正面 词语 | 等于 | 大于 | 小于 | 至多 个 | 至少 个 | 至多 一个 | 至少 一个 |
否定 词语 | 不等于 | 不大于 | 不小于 | 至少 个 | 至多 个 | 至少 两个 | 一个 没有 |
正面 词语 | 是 | 都是 | 全是 | 所有 | 任意 | 任意 两个 | 存在 |
否定 词语 | 不是 | 不都是 | 不全是 | 某些 | 某个 | 某 两个 | 任意 |
“至少”比“至多”多一个:比如,“至多3个”的否定是“至少4个”;
“至多”比“至少”少一个:比如,“至少3个”的否定是“至多2个”。
对任意使真 的否命题为 存在使假。
例3.原命题:
(1) 若一个三角形为锐角三角形,则它的三个内角都为锐角;
(2) 菱形的对角线互相垂直;
(3) 面积相等的三角形是全等三角形。
写出原命题的否定及否命题。
例4. 写出命题“若≤或≤,则≤”的否命题
例5.写命题“若,则”的否定和否命题。
例6.写出命题“平行四边形是中心对称图形”的否定及否命题。
充分条件与必要条件
知识提炼,
1、定义法
①若pq,则p叫q的充分条件,同时q叫p的必要条件
②若qp,则p叫q的必要条件,同时q叫p的充分条件
③若pq,则p叫q的充要条件,q也是p的充要条件
2、集合的包含关系
若条件p以集合A的形式出现,结论q以集合B的形式出现,则
①若AB,则A是B的充分条件;
②若AB,则A是B的必要条件;
③若A = B,则A是B的充要条件;
3、根据命题的真假来判断充分条件与必要条件
若p则q(或若┐q则┐p)为真命题,则p是q的充分条件;
若q则p(或若┐p则┐q),则p是q的必要条件.
例题1:(用充分条件和必要条件填空)
⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件;
⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的 条件;
⒊“x3”是“|x|3”的 条件;
⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的 条件;
⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 条件;
⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件;
⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不为0)来说,“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 条件;
⒏“a=2,b=3”是“a+b=5”的 条件;
⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的 条件;
⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件.
例题2:
1、指出下列各题中,p是q的的什么条件?(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)
(1) p:两个三角形相似,q:两个三角形全等。
(2) p: (x-2)(x-3)=0, q:x-2=0
(3) p:x=y q:
(4) p:x>y>0,q:
(5) p: x>2 q:x>0
(6) 且
(7)p:同位角相等;q:两直线平行。
(8)p:四边形的对角线相等;q:四边形是平形四边形。
(9);q:2x+3=x2 .
注:本质分析:原命题真逆命题假,那么p是q的充分不必要条件。
(由命题真假,定义,集合的包含关系三种办法来判断)
例3 已知p:x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,q:x1+x2=-5,则p是q的
[ ]
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例4 p是q的充要条件的是
[ ]
A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5
B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形
D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有惟一解
例5 若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D是A成立的
[ ]
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例6 设命题甲为:0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的
[ ]
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例7 设A、B、C三个集合,为使A
(B∪C),条件AB是[ ]
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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