全等三角形复习

　　

　　一、知识点：
　　1． 全等三角形：
　　⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。
　　⑵全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。
　　⑶全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

　　2.三角形全等的性质：
　　全等三角形的识别：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）

　　3．角平分线的性质：
　　⑴角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
　　⑵角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。
　　⑶三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

　　二、经验与提示
　　1．寻找全等三角形对应边、对应角的规律：　　
　　① 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
　　② 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．
　　③ 有公共边的，公共边一定是对应边．
　　④ 有公共角的，公共角一定是对应角．
　　⑤ 有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)

　　2．找全等三角形的方法
　　（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
　　（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
　　（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
　　（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

　　3．角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。

　　4．证明线段相等的方法： 
　　（1）中点定义；
　　（2）等式的性质；
　　（3）全等三角形的对应边相等；
　　（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。

　　5．证明角相等的方法： 
　　（1） 对顶角相等；
　　（2） 同角（或等角）的余角（或补角）相等；
　　（3） 两直线平行，同位角、内错角相等；
　　（4） 角的平分线定义；
　　（5） 等式的性质；
　　（6） 垂直的定义；
　　（7） 全等三角形的对应角相等；
　　（8） 三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。

　　6．证垂直的常用方法
　　（1） 证明两直线的夹角等于90°；
　　（2） 证明邻补角相等；
　　（3） 若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；
　　（4） 垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。
　　（5） 证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；
　　（6） 邻补角的平分线互相垂直。

　　7．全等三角形中几个重要结论
　　（1） 全等三角形对应角的平分线相等；
　　（2） 全等三角形对应边上的中线相等；
　　（3） 全等三角形对应边上的高相等。

　　三、典型例题
　　例1．已知

，

　　求证：

。
　　证明：

　　

　　

　　文字叙述题
　　例2：求证：等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。
　　已知：如图，

，求证：

.　

　　证明：

 　　 

　　

　　例3 已知：如图,已知AB=DC,AC = DB,AC和DB相交于点O .
　　求证:OB=OC；
　　略证：证明

。

　　例4 已知：如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝DC，AD∥BC，PＢ＝ＰC.
　　

 

　　求证：PA=PD． 
　　略证：证明

即可。

　　全等三角形的应用(生活实际问题)
　　（1）利用全等三角形配玻璃

　　例5 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样

的玻璃，那么最省事的方法是（　　）
　　（A）带①去 （B）带②去 （C）带③去 （D）带①和②去
　　答案：C
　　（1） 利用全等测距离

　　例6 如图，工人师傅把两根钢条AA’和BB’中心铆在一起，可以
　　做成一个测量工件内槽宽度的工具，请你结合图形，并利用你学过
　　的知识，解释一下它的工作原理。
　　答案：证明

即可。

　　三角形中常见辅助线的作法
　　1、延长中线构造全等三角形
　　例1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围．
　　提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．
　 　　

　　2、引平行线构造全等三角形
　　例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．
　　求证：DF=EF．

　　提示：此题辅助线作法较多，如：
　　①作DG∥AE交BC于G；
　　②作EH∥BA交BC的延长线于H；
　　 　　

　　再通过证三角形全等得DF＝EF．

　　3、作连线构造等腰三角形
　　例3 如图3，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．
　　求证：BD=DE=CE．
　　提示：连结DC，证△ECD是等腰三角形．
　　 　　

　　4、利用翻折，构造全等三角形．
　　例4 如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB＋BD．
　　提示：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B＇处，再证BD=B＇D＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇，△B＇DC是等腰三角形，于是结论可证．
　　 　　

　　5、作三角形的中位线
　　例5 如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N．求证：∠BME＝∠CNE．

　　提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF．　　则OE∥AB，OF∥CD，　故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．、　且OE=OF，故∠1＝∠2，可得证．