2010年部分省市中考数学试题分类汇编
压轴题(四)
23．(安徽省)如图，已知，相似比为k（k>1），且
的三边长分别为a、b、c（a>b>c），的三边长分别为、、.
（1）若c=a1，求证：a=kc；
[证]
（2）若c=a1，试给出符合条件的一对，使得a、b、c和、、都是正整数，并加以说明；
[解]
（3）若b=a1，c=b1，是否存在使得k=2？请说明理由.
[解]
解:（1）证：，且相似比为
又 （3分）
（2）解：取 （8分）
此时且 （10分）
注：本题也是开放型的，只要给出的和符合要求就相应赋分.
（3）解：不存在这样的和.理由如下：
若则
又，
（12分）
，而
故不存在这样的和，使得 （14分）
注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下的情况不可能即可.
24．（芜湖市 本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－3，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
解：
（2）设矩形沿直线向右下方翻折后，、的对应点为.
，
.
.
[此时需说明]. 6分
设二次函数解析式为：
抛物线经过、、.
得到解得
. 9分
（3）能，可以在直线上找到点，连接.
由于、在一条直线上，故的和最小，
由于为定长，所以满足周长最小. 10分
设直线的解析式为：
. 12分
. 14分
[注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]
26.( 重庆市綦江县) 已知：抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.
(1)求该抛物线的解析式；
(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.
解：方法一：∵抛物线过C(0,-6)
∴c=－6, 即y=ax2+bx－6
由 解得：a= ,b=－
∴该抛物线的解析式为y=x2－x－6 -----------------3分
方法二：∵A、B关于x=2对称
∴A（－8，0） 设y=a(x＋8)(x－12)
C在抛物线上 ∴－6=a×8×(－12) 即a=
∴该抛物线的解析式为：y=x2－x－6 --------3分
（2）存在，设直线CD垂直平分PQ,
在Rt△AOC中，AC==10=AD
∴点D在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC，-----------4分
由已知∠PDC=∠ACD
∴∠QDC=∠ACD ∴DQ∥AC -----------------------------5分
DB=AB－AD=20-10=10
∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=AC=5 -----------------6分
AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5
∴t=5÷1=5(秒)
∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分
在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3
∴点Q的运动速度为每秒单位长度.------------------8分
（3）存在 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ==3 --------------------9分
①当MP=MQ，即M为顶点，
设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：
解得：
∴y=3x-6
当x=1时，y=－3 ∴M1(1, －3) ------------------------10分
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点.
设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：
42+y2=90 即y=±
∴M2（1，） M3（1，－） -----------------------11分
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3)
设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：
(y＋3)2+52=90 即y=－3±
∴M4(1, －3＋) M5((1, －3－) --------------------12分
综上所述：存在这样的五点：
M1(1, －3), M2（1，）, M3（1，－）, M4(1, －3＋),
M5((1, －3－).
25．（山东省滨州市 本题满分l0分）
如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?
解：①由抛物线的对称性可知AM=BM
在Rt△AOD和Rt△BMC中，
∵OD=MC，AD=BC，
∴△AOD≌△BMC．
∴OA=MB=MA．………………………………………l分
设菱形的边长为2m，
在Rt△AOD中，
解得m=1． http://www.czsx.com.cn
∴DC=2，OA=1，OB=3．
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）………………… 4分
②设抛物线的解析式为y=（—2）2+
代入A点坐标可得=—
抛物线的解析式为y=—（—2）2+……………………………………7分
③设抛物线的解析式为y=—（一2）2+k
代入D（0，）可得k=5
所以平移后的抛物线的解析式为y=—（一2）2+5…………………………9分
平移了5一=4个单位．…………………………………………………l0分
26.（山东省烟台市 本题满分14分）
如图，已知抛物线y=x2+bx－3a过点A（1，0），B（0，－3），与x轴交于另一点C.
（1）求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）把A（1，0），B（0，－3）代入y=x2+bx－3a中，得
1+b－3a=0
－3a=－3
解得
b=2
∴抛物线的解析式为
y=x2+2x－3………………………………………4分
（2）令y=0，得x2+2x－3=0，
解得x1=－3，x2=1
∴点C（－3，0）……………………………………………………5分∵B（0，－3）
∴△BOC为等腰直角三角形.
∴∠CBO=45°……………………………………………………6分过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
∵PB⊥BC，∴∠PBD=45°∴PD=BD……………………………8分
所以可设点P（x，－3+x）
则有－3+x=x2+2x－3，∴x=－1，所以P点坐标为（－1，－4）………………………10分
（3）由（2）知，BC⊥BP
当BP为直角梯形一底时，由图象可知点Q不可能在抛物线上.
若BC为直角梯形一底，BP为直角梯形腰时，
∵B（0，－3），C（－3，0），
∴直线BC的解析式为y=－x－3…………………………11分
∵直线PQ∥BC，且P（－1，－4），
∴直线PQ的解析式为y=－（x+1）－3－1
即y=－x－5…………………………………………………12分
y=－x－5
联立方程组得
y=x2+2x－3
解得x1=－1，x2=－2…………………………………………………………………………13分
∴x=－2，y=－3，即点Q（－2，－3）
∴符合条件的点Q的坐标为（－2，－3）………………………………………………14分
28．(四川省成都市)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
解：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴，。
将代入，得。解得。
∵抛物线的对称轴是直线
∴解得
∴抛物线的函数表达式为。
（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。
∵，
∴
∴。
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，
∴，
∴
∴，解得
∴点P的坐标为
（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。
设点Q的坐标为。
① 当⊙Q与y轴相切时，有，即。
当时，得，∴
当时，得，∴
② 当⊙Q与x轴相切时，有，即
当时，得，即，解得，∴
当时，得，即，解得，∴，。
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。
（Ⅱ）设点Q的坐标为。
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。
由，得，即，
∵△=
∴此方程无解。
由，得，即，
解得
∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。
8．(四川省泸州市本题满分l2分)
已二次函数及一次函数.
(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标；
(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图10中画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值：
(3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围．
解：（1）二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为
(2)①当直线位于时，此时过点,
∴，即。
∴方程有一根，
∴，即
当时，满足，
由①②知，或。
（3）∵
∵当时，函数的图象与x轴有两个不同交点，
∴应同时满足下列三方面的条件：
①方程的判别式△=，
②抛物线的对称轴满足，
③当时，函数值，当时，函数值
即，解得。
∴当时，函数图象（）的图象与轴有两个不同公共点．
26．(重庆市江津区)如图，抛物线与轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把A
解得：
………………………………………………………………………3分
（2）令
∵OA=OB=OC=
∵BD∥CA， ∴ABD=BAC
过点D作DE轴于E，则
令，则 ∴
∵点D在抛物线上 ∴
解得，（不合题意，舍去）
∴DE=
(说明：先求出直线BD的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可)
∴四边形ACBD的面积
………………………………7分
（说明：也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）
(3)存在这样的点M……………………………………………………………………8分
∵ABC=ABD=
∵MN轴于点N， ∴ANM=DBC =
在Rt△BOC中，OB=OC=
在Rt△DBE中，BE=DE=
设M点的横坐标为
①点M在
(ⅰ) 当AMN
∵
即
则
(ⅱ) 当AMN
即
② 点M在
(ⅰ) 当AMN
∵
∴
解得
∴
(ⅱ) 当AMN
即
∴
∴M点的坐标为…………………………12分
25．（黄冈市15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
解：（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.
（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，
同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.
26.( 湖南常德市)如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
(1)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
(2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.
①求证：AG⊥CH;
②当AD=4，DG=时，求CH的长。
四边形、四边形是正方形，
∴ ……………1分
∠∠.
∴∠90°-∠∠. ……………2分
∴. ……………3分
（2）①类似（1）可得△△，
∴∠1＝∠2 …………………4分
又∵∠＝∠.
∴∠∠＝.
即 …………………5分
② 解法一: 过作于,
由题意有,
∴，则∠1＝. ………6分
而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.
∴ ，即. …………………7分
在Rt中，＝＝,………8分
而∽,∴, 即,
∴. …………………9分
再连接，显然有,
∴.
所求的长为. …………………10分
解法二：研究四边形ACDG的面积
过作于,
由题意有,
∴,. ………………8分
而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,
,
∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.
∴=. ………………10分
注：本题算法较多，请参照此标准给分.
25．(上海市)如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备用)
解：（1）∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°
∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP
∴∠EPC＝30°
∴三角形BDP为等腰三角形
∵△AEP与△BDP相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°
∴AE=EP=1
∴在RT△ECP中，EC=EP=
（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x
∵AE=1,EC=2
∴QC=3－a
∵∠ACB＝90°
∴△ADQ与△ABC相似
∴
即，∴
∵在RT△ADQ中
∴
解之得x=4，即BC=4
过点C作CF//DP
∴△ADE与△AFC相似，
∴，即AF=AC，即DF=EC=2,
∴BF=DF=2
∵△BFC与△BDP相似
∴，即：BC=CP=4
∴tan∠BPD=
(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1－a
∴且
∴
∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：
即：，解之得
∵△ADQ与△ABC相似
∴
∴
∴三角形ABC的周长
即：，其中x>0
22.（福州市 满分14分）
如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）把、分别代入，
得 解得 …………3分
∴该抛物线的解析式为 ……………4分
（2）点在该抛物线上． ………………………5分
理由：过点作轴于点,连结，设与相交于点．
∵点在直线上， ∴
∵点、关于直线对称，
∴,,，,．
又∵轴，，由勾股定理得．
∵，∴， ∴．
∵，，∴．
又∵，∴∽．
∴360docimg_501_． ∴360docimg_502_,360docimg_503_．∴360docimg_504_． ……8分
当360docimg_505_时，360docimg_506_．
∴点360docimg_507_在抛物线360docimg_508_上． ………………9分
（3）抛物线上存在点360docimg_509_，使得以360docimg_510_为直径的圆与360docimg_511_相切．
过点360docimg_512_作360docimg_513_轴于点360docimg_514_；连结360docimg_515_；过点360docimg_516_作360docimg_517_轴于点360docimg_518_．
∴360docimg_519_∥360docimg_520_∥360docimg_521_．
∵360docimg_522_，360docimg_523_．点360docimg_524_是360docimg_525_的中点，
由平行线分线段成比例定理得，360docimg_526_
∴360docimg_527_，同理可得：360docimg_528_．
∴点360docimg_529_的坐标为360docimg_530_． ……………………10分
∵360docimg_531_，∴360docimg_532_为360docimg_533_的切线．
360docimg_534_又∵360docimg_535_为360docimg_536_的切线，∴360docimg_537_．
∴四边形360docimg_538_为正方形．∴360docimg_539_．
∴360docimg_540_．又∵360docimg_541_＝360docimg_542_，
∴360docimg_543_≌360docimg_544_．
∴360docimg_545_,360docimg_546_．∴360docimg_547_．…………12分
设直线360docimg_548_的解析式为360docimg_549_
把360docimg_550_、360docimg_551_分别代入360docimg_552_，
得 360docimg_553_ 解得，360docimg_554_
∴直线360docimg_555_的解析式为360docimg_556_
若以360docimg_557_为直径的圆与360docimg_558_相切，则点360docimg_559_为直线360docimg_560_与抛物线的交点．
可设点360docimg_561_的坐标为360docimg_562_ ，则有360docimg_563_，360docimg_564_．
∴360docimg_565_．整理得360docimg_566_，
解得360docimg_567_．∴点360docimg_568_的横坐标为360docimg_569_或360docimg_570_．……14分
24．(日照市 本题满分10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC2=2AB·CE．
360docimg_571_
解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，
360docimg_572_即AD是底边BC上的高． ………………………………………1分
又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；………… ……………………………………………3分
(2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴ ∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分
又∵ ∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分
（3）证明：由△BEC∽△ADC，知360docimg_573_，
即CD·BC=AC·CE． …………………………………………………8分
∵D是BC的中点，∴CD=360docimg_574_BC．
又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=360docimg_575_BC ·BC=AB·CE
即BC360docimg_576_=2AB·CE．……………………………………………………10分
27．(四川省凉山州)已知：抛物线360docimg_577_，顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于
360docimg_578_E，依次连接A、D、B、E，点Q为AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，
MN分别与边AE、BE相交于M、N（M与A、E不重合，N与E、B不重合），
360docimg_579_请判断 是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
360docimg_580_
解：（1）设抛物线解析式为360docimg_581_ ………………1分
将A（-1，0）带入360docimg_582_
得360docimg_583_ ……………………………………………2分
∴360docimg_584_
360docimg_585_即360docimg_586_……………………………………3分
（2） 是定值1…………………………………4分
∵AB是直径
∴∠AEB=90°
∵QF⊥AE
∴QF∥BE
∴360docimg_587_
360docimg_588_ 同理可得 ………………………………5分
∴360docimg_589_
360docimg_590_ ∴ 为固定值1.…………………………6分
360docimg_591_ （3） 成立……………………………………7分
∵直线EC为抛物线对称轴
∴EC垂直平分AB
∴AE=EB
∴∠FAQ=45°
∴AF=FQ…………………………………………8分
∵QF∥BE
360docimg_592_∴
∴360docimg_593_ ………………………………………9分
∵MN⊥EQ
∴∠QEF=∠MNE
又∵∠QFE=∠MEN=90°
∴△QEF≌△MNE
360docimg_594_∴ ……………………………………10分
360docimg_595_
360docimg_596_ ∴ ……………………………………11分
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