线段，角的计算证明问题

2010北京中考重难点专题讲座

第一讲 线段，角的计算证明问题

                         智康·刘豪

【前言】 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。

第一部分 真题精讲

【例1】 （2010，崇文，一模）

如图，梯形

中，

，

．求

的长．

【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.

【解析】

作

于

于

 

，

四边形

是矩形．

 

是

的

边上的中线．

 

在

中，

【例2】（2010，海淀，一模）

已知：如图，在直角梯形

中，

∥

，

，

于点O，

，求

的长.  

【思路分析】 这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC向右平移,构造一个以D为直角顶点的直角三角形.这样就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC是已知的.于是问题迎刃而解.

【解析】

过点

作

交

的延长线于点

.

∴ 

. 

∵ 

于点

, 

∴ 

.

∴ 

.

∵ 

，

∴ 四边形

为平行四边形.

∴ 

.

∵ 

，

∴ 

.

∵ 

，

∴ 

. 

∴ 

       

此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△ACD和 △DBC相似，从而利用比例关系直接求出CD。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。

【例3】（2010，东城，一模）

如图，在梯形

中，

，

，

，

为

中点，

．求

的长度

．

【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢?答案就隐藏在E是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条件代入.比如这道题,过中点E做BC的垂线,那么这条垂线与AD延长线,BC就构成了两个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.

【解析】

过点

作

的垂线交于

点

，交

的延长线于点

.   

在梯形

中，

，

是

的中点，

∴

在

和

中，

∴

 .      

∴

∵

，∴

.

在

中，

，

∴

.

在

中，

【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类:

1、 过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形

2、 平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形

3、 延长梯形两腰交于一点构造三角形

4、 平移对角线，转化为平行四边形+三角形

5、 连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形

以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。

【例4】 （2010，延庆，一模）

如图，在梯形

中，

，

平分

，过

点

作

，交

的延长线于点

，且

，

，

，

求

的长．

【思路分析】 此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条件，尤其是利用平行线这一条件，可以得出（见下图）角C与角1，2，3以及角E的关系。于是一系列转化过后，发现角C=60度，即三角形DBC为RT三角形。于是得解。

【解析】：

∵ 

∴

，

 

∵

 

∴

 

∴

∵ 

∴

 

∴梯形

是等腰梯形  

∴

 

∵

，

∴

 

在

中， 

∵

，

∴

 

【例5】（2009，西城，一模）

已知：

，

，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB

    的两侧.

如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB比较容易，过A做BP垂线，利用等腰直角三角形的性质，将△APB分成两个有很多已知量的RT△。但是求PD时候就很麻烦了。PD所在的三角形PAD是个钝角三角形，所以就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形，最简单的就是过P做DA延长线的垂线交DA于F，DF交PB于G。这样一来，得到了△PFA △AGE等多个RT△。于是与已求出的AB等量产生了关系，得解。

【解析】：

如图，作AE⊥PB于点E．               

∵ △APE中，∠APE=45°，

，

∴ 

，

．

∵ 

，

∴ 

． 

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

∴ 

． 

如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G．

在Rt△AEG中，可得

，

（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系）

，

．

在Rt△PFG中，可得

，

．

【总结】 由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。所以，构建辅助线一般也是从这个思路出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系（例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。

第二部分 发散思考

通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。

【思考1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，

．若AC⊥BD，

AD+BC=

， 且

， 求CD的长．

【思路分析】 前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。此题求腰，所以自然是先将腰放在某个RT三角形中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT三角形，所以此题需要两条辅助线。在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运用，如果思想放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。

[解法见后文]

【思考2】如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知BC=7，MN=3，求EF

【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三点共线提出了要求。若求EF，因为BC已知，所以只需求出AD即可。由题目所给角B，角C的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。

（解法见后）

【思考3】已知

，延长

到

，使

．取

的中点

，连结

交

于点

．

⑴ 求

的值；

⑵ 若

，

，求

的长．

【思路分析】 求比例关系，一般都是要利用相似三角形来求解。此题中有一个等量关系BC=CD，又有F中点，所以需要做辅助线，利用这些已知关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。

（解法见后）

【思考4】如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．

【思路分析】 中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。本题中，D为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。

（解法见后）

【思考5】 如图，在四边形

中，

为

上一点，

和

都是等边三角形，

、

、

、

的中点分别为

、

、

、

，试判断四边形

为怎样的四边形，并证明你的结论．

【思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。本题需要考生对各个特殊四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。

（解法见后）

第三部分 思考题答案

思考1

【解析】：作DE⊥BC于E，过D作DF∥AC交BC延长线于F． 

则四边形ADFC是平行四边形，∴

，DF=AC． 

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD．∴

 

又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴BD⊥DF．

∴ΔBDF是等腰直角三角形

∴

在

中，

∵

， 

∴

，∴

  

思考2

【解析】：

延长BA，CD交于点H，连接HN，

因为∠B=30°，∠C=60°，所以∠BHC=90°

所以HN=DN（直角三角形斜边中线性质）

∠NHD=∠NDH=60°

连接MH，同理可知∠MHD=∠C=60°。

所以∠NHD=∠MHD，即H，N，M三点共线（这一点容易被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实还是要证明一下）

所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5

所以AD=1 EF=（1+7）/2=4

思考3

【解析】 ⑴过点

作

，交

于点

．

∵

为

的中点

∴

为

的中点，

由

，得

，

，∴

∴

∴

∴

⑵ ∵

，∴

又

，∴

∵

，∴

．

思考4

【解析】：

延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，FG．

则△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．

因为∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．

因为DF垂直平分EG，所以FG=EF．

在Rt△FCG中，由勾股定理得

，所以EF=5．

思考5

【解析】：

证明：如图，连结

、

．

∵

为

的中位线，

∴

，

．

同理

，

．

∴

，

，

∴四边形

为平行四边形．（有些同学做到这一步就停了，没有继续发现三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情况，十分可惜）

在

和

中，

，

，

，

即

．

∴

．

∴

．

∴

∴四边形

为菱形．