多种函数交叉综合问题

中考数学重难点专题讲座

第五讲 多种函数交叉综合问题

                             智康·刘豪

【前言】初中数学所涉及的函数无非也就一次函数，反比例函数以及二次函数。二次函数基本上只会考和一次函数的综合问题，二次函数与反比例函数基本不会涉及。所以如何掌握好一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点。这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。

【例1】2010，西城，一模

将直线

沿

轴向下平移后，得到的直线与

轴交于点

，与双曲线

交于点

．

⑴求直线

的解析式；

⑵若点

的纵标为

，求

的值（用含有

的式子表示）．

【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简单,看看就行.

【解析】将直线

沿

轴向下平移后经过x轴上点A（

），

设直线AB的解析式为

． 

则

．

解得

． 

∴直线AB的解析式为

． 

　　　图3

（2）设点

的坐标为

，

∵直线

经过点

，

∴

．

∴

． 

∴

点的坐标为

， 

∵点

在双曲线

上，

∴

．

∴

． 

【例2】2010，丰台，一模

如图，一次函数

的图象与反比例函数

的图象相交于A、B两点．

（1）求出这两个函数的解析式；

（2）结合函数的图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，

【思路分析】第一问直接看图写出A，B点的坐标（-6,-2）(4,3)，直接代入反比例函数中求m，建立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求

的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。

【解析】

解：（1）由图象知反比例函数

的图象经过点B(4，3)，

∴

．　　　　∴m=12．    - 

∴反比例函数解析式为

．  

由图象知一次函数

的图象经过点A(－6，－2) ， B(4，3)，

∴

    解得

 -- 

∴一次函数解析式为

．   

 （2）当0<x<4或x<－6时，

． 

【例3】2010，密云，一模

已知：如图，正比例函数

的图象与反比例函数

的图象交于点

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当

取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）

是反比例函数图象上的一动点，其中

，过点

作直线

轴，交

轴于点

；过点

作直线

轴交

轴于点

，交直线

于点

．当四边形

的面积为6时，请判断线段

与

的大小关系，并说明理由．

【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形OADM的面积是何用意,另一方面也要去看BM,DM和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜.

【解析】

解：（1）将

分别代入

中

，

得

，

，

∴

，

．

∴反比例函数的表达式为：

；

  正比例函数的表达式为

．  

（2）观察图象得，在第一象限内，当

时，

反比例函数的值大于正比例函数的值． 

（3）

． 

理由：∵

，

 ∴

，即

．

∵

，

∴

．

∴

．（很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积）

∴

．

∴

．

∴

　

【例4】2010，石景山，一模

已知：

与

两个函数图象交点为

，且

，

是关于

的一元二次方程

的两个不等实根，其中

为非负整数．

（1）求

的值；

（2）求

的值；

（3）如果

与函数

和

交于

两点（点

在点

的左侧），线段

，求

的值．

【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出k的范围，加上非负整数这一条件得出k的具体取值。代入方程即可求出m，n，继而求得解析式。注意题中已经给定m<n,否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方程代入以后将A,B表示出来，然后利用

构建方程即可。

【解析】（1）

 

         

 

∵

为非负整数，∴

 

∵

为一元二次方程  

∴

 

(2)把

代入方程得

, 解得

∵

∴

 

把

代入

与

可得

 

(3)把

代入

与

可得

，

，由

，可得

解得

，经检验

为方程的根。

∴

【例5】2010，海淀，一模

已知：如图，一次函数

与反比例函数

的图象在第一象限的交点为

．

（1）求

与

的值；

（2）设一次函数的图像与

轴交于点

，连接

，求

的度数．

【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA,从而∠BAO=∠ABO,然后求出∠BAO即可。

解：（1）∵点

在双曲线

上，

∴

 

又∵

在直线

上，

∴ 

. 

（2）过点A作AM⊥x轴于点M.

∵ 直线

与

轴交于点

，

∴ 

.

   解得 

.

∴ 点

的坐标为

.

∴ 

. 

∵点

的坐标为

， 

∴

.

在Rt△

中，

,

∴

.

∴

.- 

由勾股定理，得 

.

∴

∴

.

∴

.-

【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点：1、给交点求解析式；2，y的比较，3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如y的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。

第二部分 发散思考

【思考1】2009，北京

如图，A、B两点在函数

的图象上.

（1）求

的值及直线AB的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用1-6的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。

【思考2】2009，宣武，一模

如图，一次函数

的图象与反比例函数

的图象交

于两点，直线

分别交

轴、

轴于

两点．

（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求

的值．

【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从A引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。

【思考3】2009，崇文，一模

已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．

（I）用含k的式子表示方程的两实数根；

（II）设方程的两实数根分别是

，

（其中

），若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y =

的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式．

【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解析式。第一问求根，直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算就可以。

【思考4】2009，东城，一模

如图，反比例函数

的图象过矩形OABC的顶点B，OA、0C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA：0C=2：1．

（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；

（2）若直线

平分矩形OABC面积，求

的值

【思路分析】本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图，通过比例可以很轻易发现B点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题，平分面积意味着一定过B点，代入即可。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

（1）由图象可知，函数

（

）的图象经过点

，

可得

．

设直线

的解析式为

．

∵

，

两点在函数

的图象上，

∴

　　　　解得

∴直线

的解析式为

．

（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是    3    ．

【思考2解析】

（1）把

，

代入

，得：

． 

反比例函数的解析式为

． 

把

，

代入

得

．                    

把

，

；

，

分别代入

得

，                           （第16题答图）

解得

，

一次函数的解析式为

． 

（2）过点

作

轴于点

．

点的纵坐标为1，

．

由一次函数的解析式为

得

点的坐标为

， 

．

在

和

中，

，

，

．

．  

【思考3解析】

解：（I）

 kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．

∴

 

由求根公式，得

       　　　　

．  ∴

或

 

（II）

，∴

． 

而

，∴

，

．

由题意，有

 

解之，得

． 

∴一次函数的解析式为

，反比例函数的解析式为

． 

【思考4解析】

（１）由题意，设B

，则

  

∵B在第一象限，　　　　　

B(４,２) 

∴矩形OABC对角线的交点Ｅ为

 

（２）∵直线

平分矩形OABC必过点

∴1=2x2+m

m=-3