专题一 动手操作问题
【例题经典】
作图与图案设计
例1 请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x>0）．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=．由此可知新正方形的边长等于小正方形组成的矩形对角线长．于是，画出如图（2）所示的分割线，拼出如图（3）所示的新正方形．
请你参考小东的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图（4），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图（4）中画出分割线，并在图（5）的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
解：所画图形如图所示．
【点评】考查学生对基本几何图形特征及图形变换的认识，综合运用数学思想方法的能力，想象能力和创新能力．
折纸拼图
例2 （2006年济宁市）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：
请你用上面图示的方法，解答下列问题：
（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形．
（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一与原四边形面积相等的矩形．
【解析】（1）如图所示
（2）如图所示
【考点精练】
1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ）
(第1题) (第2题)
2．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
3．（2006年广州市）如图（1），将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图（2）的图案，则图（2）中阴影部分的面积是整个图案面积的（ ）
A． B． C． D．
(第3题) (第4题)
4．（2006年河南省）如图（1）所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD，若AE=4，CE=3BF，那么这个四边形的面积是___________．
5．（1）如图（1），有两个正方形花坛，准备把每个花坛分成形状相同的四块，种不同的花草，图中左边的两个图是设计示例，请你在右边的两个正方形中再设计两个不同的图案．
（2）在下面的图形中，用两种不同的设计方案，将正方形八等分，画出图案．
图(2)
6．（2006年浙江省）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片．将它折两次（第一次折后也可以打开铺平再折第二次）．使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕）．
除图甲外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作．如图乙和图甲是相同的操作）．
① ② ③
7．（2006年鸡西市）已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD到OA垂直时（如图1），易证：OD+OE=OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
8．操作，在△ABC中，AC=AB=2，∠C=90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，射线CB于D，E两点，图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．
探究：（1）三角板绕P点旋转，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？它们的关系为_________，并以图②为例，加以证明．
（2）三角板绕P点旋转，△PBE能否成为等腰三角形，若能指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时的CE的长）；若不能，说明理由．
（3）若将三角板直角顶点，放在斜边AB的M处，且AM：MB=1：3和前面一样操作，试问线段MD和ME之间又有什么关系？直接写出结论，不必证明．
（图④供操作，实验用）
结论为__________________．
9．（2006年广州市）在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△AB1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合）．
（1）如图①，当∠C>60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；
（2）当∠C=60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；
（3）当∠C<60°时，请你在图②中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立？并说明理由．
10．（2006年南京市）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．
（1）如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G（如图①），AF=，求DE的长；
（2）如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G（如图②），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．
答案:
考点精练
1．C 2．B 3．D 4．16 5．略
6．
7．解：图2结论：OD+OE=OC，
证明：过C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q，
△ CPD≌△CQE，DP=EQ，OP=OD+DP，DQ=OE-EQ，
又OP+OQ=OC，即OD+DP+OE-EQ=OC，
∴OD+DE=OC．图3结论：OE-OD=OC
8．略
9．（1）AB1∥CB，证略 （2）AB1与CB平行
（3）图略，（1）（2）中的结论仍然成立
10．解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°
根据轴对称的性质，得EF=AF=，∴DF=AD-AF=，
在Rt△DEF中，DE==
（2）设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO=EO，
取AD的中点M，连接MO，则MO=DE，MO∥DC，
设DE=x，则MO=x，在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心．
延长MO交BC于点N，则ON∥CD，
∴∠DNM=180°-∠C=90°，
∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形，
∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=2-x，
∵△AED的外接圆与BC相切，
∴ON是△AED的外接圆的半径，
∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．
在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，∴12+x2=（4-x）2．
解这个方程，得x=，∴DE=，OE=2-x=．
根据轴对称的性质，得AE⊥FG，∴∠FOE=∠D=90°．
又∵∠FEO=∠AED，∴△FEO∽△AED，
∴·AD．
可得FO=，又AB∥CD，
∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO，
∴△FEO≌△GAO，∴FO=GO，∴FG=2FO=，
∴折痕FG的长是.
