一、学习内容
1．三角形有关的线段
2．三角形三边关系
重点：三角形高线、中线、角平分线的意义
画法．
三角形三边关系．
难点：三角形三边关系定理的运用．
二、重点难点分析
引入：三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏大的建筑物（香港中银大厦）到微小的分子结构，处处都有三角形的形象．
同学们想一下，你们在日常生活中见到过哪里有三角形？起重机的支架，高压线的支架，火车车厢中放行李横格板的支架，折叠椅，各种车辆的机械结构中都不难发现三角形．
为什么在工程建筑，机械制造中经常采用三角形结构呢？这与三角形的稳定性有关，这就需要我们对三角形的性质进行研究．三角形又是我们认识其他图形的基础，如我们了解三角形内角和是180°，就可以算出多边形各个内角的和．
本章主要学习三角形有关的线段，三角形三边关系，三角形内角和，及多边形内角和的内容．
（一）三角形的定义，表示方法及有关概念：
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
表示方法：△ABC
A，B，C是三角形的顶点．
有关概念：
三角形的边：组成三角形的线段是三角形的边．即AB，BC，CA（或表示为a，b，c．方法是顶点A所对的边用a表示，……）
三角形的顶点：相邻两边的公共端点．即A，B，C．
三角形的内角：（简称三角形的角）相邻两边组成的角．即∠A，∠B，∠C．
边、角互称语句：边所对的角，角所对的边，两边的夹角，两角的夹边．
（二）三角形的高、中线与角平分线．
1．三角形的高线：
定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）
表述：（以下四种方法都可以）
<i>AD是△ABC的高．
<ii>AD是△ABC中BC边上的高．
<iii>AD⊥BC于D．
<iv>∠ADC=90°（或∠ADB=90°，也可以∠ADC=∠ADB=90°）
特点：<i>三角形的三条高线（或它的延长线）交于一点．（如图）
说明：在计算机上用“几何画板”软件画一个任意三角形，再画出它的三条高线可以发现这一规律，当然也可以从理论上加以证明（教材早已删去了）
<ii>三角形高线不一定在三角形内部（见例题）
与垂线的区别：高线是线段，垂线是直线．
画法：同于画垂线的方法．
2．三角形的中线
定义：在三角形中连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．
表述：（四种方法都可以）
<i>AM是△ABC中线
<ii>AM是△ABC中BC边上的中线
<iii>（结合图形只需一个等号）
<iv>点M是BC边中点．
特点：一个三角形有三条中线，三条中线交于一点．（重心）仍可用“几何画板”验证．
与线段垂直平分线的区别：中线一般不垂直于该边，另外中线是线段垂直平分线是直线．
画法：先画出该边中点，然后连结．
3．三角形的角平分线：
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
表述（三种方法都可以）：
<i>AD是△ABC的角平分线
<ii>AD平分∠BAC交BC于D
<iii>（结合图形可只写一个等号，否则要写两个等号）
特点：一个三角形有三条平分线，它们交于一点（内心）也可用几何画板验证．
<iii>∠BAD=∠CAD=1∠（
与角平分线的区别是：线段与射线之分．
画法：同于画已知角的平分线，用量角器或尺规画图．
（三）三角形按边的相等关系分类：
有关定义：
不等边三角形：三条边都不相等的三角形．
等腰三角形：有两条边相等的三角形．
等边三角形：三边都相等的三角形．
等腰三角形的有关概念：
在等腰三角形中，相等的两边都叫腰．另一边叫做底边．
两腰的夹角叫顶角．
腰和底边的夹角叫底角．
（四）三角形中的三边关系
定理：三角形两边的和大于第三边．
已知：△ABC，三边分别为a，b，c
求证：b+c>a，c+a>b，a+b>c．
证明：b+c>a（两点之间，线段最短）
同理：c+a>b
a+b>c
补充：推理：三角形两边的差小于第三边．
仍按上图及定理推证如下：
不妨设a≥b≥c．
∵b+c>a ∴b>a-c，c>a-b．（不等式性质）
∵a+c>b．∴a>b-c．
说明：在平面几何中，研究的量都是正值，推论中所指两边差都是正值，因此要注意不
能有负值出现．
（五）三边关系定理与推论之间的关系
已知：线段a、b、c可构成三角形，不妨设a≥b≥c．
说明：<i>定理内容应表述为三个不等式，即三角形任意两边和大于第三边，推论也是如此．
<ii>观察定理的三个不等式不是通过移项而互推的，都是根据线段公理而证出．
<iii>整体推出是指由定理的三个不等式整体推出推论的三个不等式，实际上由其中的两个再加上a≥b≥c的条件即可互推．
（六）应用定理及推论的不同情况．
1．当已知线段a，b，c大小时，如a>b>c只须考虑定理中的一个不等式即可判断能否组成三角形．
方法①：找出最大边a，只须考虑b+c>a是否成立．
方法②：找出非最大边b（或c）只须考虑b>a-c是否成立．
道理：上述的一个不等式可以概括定理和推论的6个不等式（包括本身）
证明：若b+c>a则∵a最大，∴a+b>c，a+c>b
又可推出b>a-c，c>a-b（移项）
a>b-c（由a最大）
2．当已知两条线段的值或大小关系时，须列两个不等式来判定能否构成三角形．
方法：已知线段a，b的大小关系为a>b，第三条线段为c，若满足a-b<c<a+b．则a，b，c可构成三角形．
道理：上面的不等式组可概括定理和推论的6个不等式．
即：若c为最大时，不等式c<a+b可以概括．若c为非最大时，不等式可以概括．
3．当三条线段具体长度或大小关系都不知道，则由定理需列出三个不等式来判定能否组成三角形；由推论需列出两个绝对值不等式来判定能否组成三角形．
道理：①因为三条线段的大小关系并不知道定理中的三个不等式都应列出，否则有可能遗漏“最大边小于另外两边和”这时，三条线段不能构成三角形．
②运用推论时，因三条线段皆未知大小，所以推论应写成
在这三个不等式中任选两个若能成立，就可判定能否构成三角形．
如：选a>|b-c|，b>|a-c|
当b≥c时，可a>b-c c>b-a ①
当a≥c时，可b>a-cc>a-b ②
①，②中必有一个成立，这样推论的三个不等式都可以成立了．
（由b≥c，a≥c假设可知c不是最大边，根据1可得出能构成三角形的结论）
（七）三角形的稳定性
将三根木条用钉子钉成一个三角形木架然后扭动它，发现它的形状不会改变．而将四根木条用钉子钉成一个四边形木架再扭动它发现它的形状轻易就改变了．这说明三角形的三边长固定后它的形状不会改变（指内角的改变而引起的形状的改变）这个性质叫做三角形的稳定性．
三形的稳定性有广泛的应用：如我们前面举出的起重机的支架、高压线的支架、钢架桥自行车的主樑等都有三角形结构．平时生活中的三角形支架也到处可见．
三、典型例题讲解
例题1：分别画出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条高，并比较异同．
解：AD⊥BC于D
BE⊥AC于E
CF⊥AB于F
AC⊥BC于C
BC⊥AC于C
CD⊥AB于D
AD⊥BC于D
BE⊥AC于E
CF⊥AB于F
结论：锐角三角形三条高线都落在三角形内部，直角三角形有两条高恰是它的两边，钝角三角形有两条高在三角形外部．
注意：辅助线要画虚线，画图要表示结果．
问题：在上面第一图中△ABH的三条高线各是哪条？（HF，AE，BD）△BHC，△AHC呢？
例题2：证明三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
已知：△ABC中，AM是BC边上的中线．
求证：
证明：作AD⊥BC于D．
∵AM是△ABC中线（已知）
∴BM=CM（三角形中线定义）
∵
∴．
例题3：一个等腰三角形的周长为18cm．
①已知腰长是底边长的2倍．求各边长．
②已知其中一边长为4cm，求其它两边长．
解：①设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
由题意：x+2x+2x=18
x=3．6
∴2x=7．2
答：三边长分别为3．6cm、7．2cm、7．2cm．
②情况1．设腰长为xcm，则底边长为4cm．
由已知：2x+4=18
x=7
情况2．设底边长为xcm，则腰长为4cm
由已知：4×2+x=18
x=10
∵4+4<10
即两条线段的和小于第三条线段
所以以4，4，10为边不能构成三角形
综上，另外两边的长都应是7cm
答：另两边长都为7cm．
例题4：
1．△ABC中a=3x，b=4x，c=14，则x的取值范围（ ）
A．2<x<14 B．x>2 C．x<14 D．7<x<14
解：由上面第二种情况知需列不等式组
∴2<x<14
∴选（A）
2．三角形三边长为m-1，m，m+1（m>1）则m的取值范围是（ ）
A．m>0 B．m>-2 C．m>2 D．m<2
解：可认为是第一种情况（知道最大边）
m+1<m-1+m
m>2
∴选（C）
3．已知，一个三角形的三边分别为a，b，c（a<b）则它的周长l满足（ ）
A．3a<l<3b B．2b<l<2（a+b）
C．2a+b<l<a+2b D．a+2b<l<2a+b
解：由已知a<b
∴b-a<c<a+b
两边都加（a+B）：a+b+b-a<a+b+c<a+b+a+b
2b<l<2（a+b）
∴选（B）
说明：我们可以用举反例的方法否定A，C，D三个选项：
否定A：
当c最小时①不一定成立，如2，4，5，
当c最大时②不一定成立，如3，4，5，
否定C：当c最小时，c<a<b则2a+b<l不成立
否定D：当c最大时，a<b<c则l<2a+b不成立
例题5：（1）用两种方法解：△ABC中三边长分别是3，1-2R，8，则R的取值范围是（ ）
A．-2>R>-5 B．R>-5 C．R<-2 D．非上面答案
解法1．8-3<l-2R<8+3-5<R<-2
解法2． （捕捉最大边）
-5<R<-2
∴选（A）
（2）已知：三角形一边是另一边的两倍
求证：它的最小边长在它的周长的与之间．
证明：设三角形的三边为a，b，c．由已知，不妨设a=2c．
则最小边只能是c 即a>b>c
∴
四、随堂监测A组
（一）填空
1．图中有几个三角形？分别把它们用符号写出来．
2．已知：如图在△ABC中，AE是中线．AD是角平分线，AF是高
完成下面填空：
①BE=________=________．
②∠BAD=________=________．
③∠AFB=________=90°．
3．已知：如图．∠1=∠2，AF=FC，∠D=∠E=90°判断
①AD是△ABC的BC边上的高（ ）
②BF是△AEC的中线（ ）
③AB是△ADC的角平分线（ ）
④CE是△ABC中AC边上的高（ ）
⑤CE既是△ABC的高也是△AEC的高（ ）
4．在图上分别画出△ABC中AC边上的高
5．在△ABC中过顶点A画出该△ABC的中线、角平分线和高
（二）选择：
1．下列各组数分别为三条线段的长，以三条线段为边能构成三角形的是（ ）
A．6，10，3 B．6，9，3 C．6，2，3 D．6，8，3
2．如果线段a，b，c能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ）
A．2∶3∶5 B．3∶4∶8 C．1∶2∶4 D．4∶5∶6
3．三角形的两边长分别为5和7，那么它的第三边a的长的取值范围是（ ）
A．2<a<12 B．2<a≤12 C．2≤a<12 D．2≤a≤12
4．已知一个三角形的周长是20cm，其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形第三边长是（ ）
A．8cm B．4cm C．10cm D．5cm
五、随堂监测B组
（一）填空题：
1．△ABC的三边a=4．8，b=2a，b比c大1．9，则△ABC的周长为___________．
2．等腰三角形的两边长分别为25cm和12cm，那么它的第三边长为___________．
3．等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，那么它的周长为____________．
4．若三角形的两边长分别为9cm和5cm，第三边长是偶数，则第三边长的可能取值为_____________．
5．D为△ABC的边BC上一点，则CA+AB+BC__________2AD．（填写“>”“<”或“=”）
6．△ABC的三边a，b，c满足则△ABC是__________三角形．
（二）解答题：
1．等腰三角形腰长是5，求底边长a的取值范围．
2．如图，在△ABC中，D为△ABC内任一点．求证：AB+AC>BD+CD
3．已知：D在△ABC的AB边上，并且BD=CD
求证：AB>AC
4．在等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线
求证：3AB>2BD
六、参考答案
A组
（一）填空
1．共有六个三角形，它们是△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE．
2．①CE、BC；②∠CAD，∠BAC；③∠AFC
3．①√ ②× ③√ ④× ⑤√
4．
5．
（二）选择
1．D 2．D 3．A 4．B
B组
（一）填空题
1．22．1
2．25cm
3．51cm或63cm
4．6cm，8cm，10cm，12cm
5．>
6．等边三角形（提示：移项后配方）
（二）解答题：
1．解：∵5+5>a>5-5 ∴10>a>0 答：底边长a的取值范围是10>a>0
2．证明：延长BD交AC于E．
在△ABE中AB+AE>BE（三角形两边和大于第三边）
同理：DE+EC>CD
两式相加：AB+AE+DE+EC>BE+CD
AB+AC+DE>BD+CD+DE
AB+AC>BD+CD．
3．证明：∵AD+CD>AC（三角形两边和大于第三边）．
又∵BD=CD（已知）
∴AD+DB>AC
即AB>AC
4．证明：∵AB+AD>BD（三角形两边和大于第三边）
∴2（AB+AD）>2BD
∴2AB+2AD>2BD
∵
∴3AB>2BD
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