上一讲中,我们对相反数和绝对值的基本内容作了一个归纳,这一讲,我们对绝对值的几何意义作一个深入的剖析.因为在绝对值的知识点中,蕴含了许多重要的数学思想. (1)分类讨论思想:绝对值化简时,要根据被化简式子的正负性来分类. (2)整体思想:绝对值化简时,有时需要将被化简式子看作整体. (3)数形结合思想:绝对值的几何意义中,结合数轴来了解,更加简单易懂. ——写在前面 一、概念辨析 首先,来回忆一下绝对值的几何意义:数轴上,表示一个数的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值.如数a的绝对值记作|a|,表示数a的点与原点的距离. 但是我们其实可以把|a|看作|a-0|,这样就能表示为数a的点与数0的点的距离. 那么|a-5|表示什么呢?千万别说成数a-5的点与数0的点的距离.而应该看成数a的点与数5的点的距离. 不能理解的同学,我们就举最简单的例子,数10的点与数5的点的距离是多少,你肯定是知道是10-5,那这里只不过把10换成了a而已,如果a比5小,加个绝对值符号,保证距离的非负性即可,这下你明白了吧. 那么|a+5|表示什么呢?|a+5|=|a-(-5)|,表示数a的点与数-5的点的距离. 最后,你能说出|a-b|和|a+b|的几何意义吗? 二、典型例题 1.绝对值化简求最值 例1 求|x-1|+|x-2|的最小值. 分析: |x-1|表示数x的点与数1的点之间的距离, |x-2|表示数x的点与数2的点之间的距离, |x-1|+|x-2|表示数x的点与数1的点之间的距离与数x的点与数2的点之间的距离之和. 我们不妨在数轴上,设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x. 当1≤x≤2时,即P点在线段AB上,此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB=1; 当x>2时,即P点在B点右侧,此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB+2PB>AB; 当x<1时,即P点在A点左侧,此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB+2PA>AB; 解答: 综上,当1≤x≤2时(P点在线段AB上),|x-1|+|x-2|取得最小值为1. 结论归纳: 若已知a<b,则当a≤x≤b时, |x-a|+|x-b|取得最小值为b-a. 变式1 求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值. 分析: 我们不妨在数轴上, 设A、B、C、P四点对应的数分别为1、2、3、x. ①当1≤x≤3时,|x-1|+|x-3|=PA+PC=3-1=2,取得最小值; ②当x=2时,|x-2|=PB=0,取得最小值; 而要求的|x-1|+|x-2|+|x-3|=PA+PB+PC,即上面两式|x-1|+|x-3|与|x-2|之和,如果这两式能同时取得最小值,那么它们的和必然也取得最小值. 解答: 当x=2时,|x-1|+|x-2|+|x-3| 的最小值为(3-1)+0=2. 变式2 求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值. 分析: 我们不妨在数轴上,设A、B、C、D、P五点对应的数分别为1、2、3、4、x. ①当1≤x≤4时,|x-1|+|x-4|=PA+PD=4-1=3,取得最小值; ②当2≤x≤3时,|x-2|+|x-3|=PB+PC=3-2=1,取得最小值; 而要求的|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=PA+PB+PC+PD,即上面两式|x-1|+|x-4|与|x-2|+|x-3|之和,如果这两式能同时取得最小值,那么它们的和必然也取得最小值. 解答: 当2≤x≤3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4| 的最小值为(4-1)+(3-2)=4. 变式3 求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值. 分析: 我们不妨在数轴上,设A、B、C、D、E、P六点对应的数分别为1、2、3、4、5、x. ①当1≤x≤5时,|x-1|+|x-5|=PA+PE=5-1=4,取得最小值; ②当2≤x≤4时,|x-2|+|x-4|=PB+PD=4-2=2,取得最小值; ③当x=3时,|x-3|=PC=0,取得最小值; 而要求的|x-1|+|x-2|+|x-3+|x-4|+|x-5||=PA+PB+PC+PD+PE,即上面三式|x-1|+|x-5|,|x-2|+|x-4|与|x-3|之和,如果这三式能同时取得最小值,那么它们的和必然也取得最小值. 解答: 当x=3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| 的最小值为(5-1)+(4-2)+0=6. 结论归纳: 2.绝对值化简求定值 例3 |x+1|+|x-3|=6,x=_______. 分析: |x+1|+|x-3|表示数x的点与数-1的点之间的距离与数x的点与数3的点之间的距离之和. 显然,我们易知,当-1≤x≤3时,距离之和为4,因此,x的取值必然满足x<-1或x>3. 我们不妨以x<-1为例,结合数轴分析,设A、B、P三点对应的数分别是-1、3、x.设P、A两点距离为a,则P、B两点距离为a+4,a+a+4=6,a=1,则x=-1-1=-2,同理,当x>3时,也可求. 解答: x<-1,设P、A两点距离为a,则P、B两点距离为a+4, a+a+4=6,a=1,则x=-1-1=-2, x>3,设P、B两点距离为a,则P、A两点距离为a+4, a+a+4=6,a=1,则x=3+1=4, 综上,x=-2或4. 例4 |x+1|-|x-3|=2,x=_______. 分析: |x+1|-|x-3|表示数x的点与数-1的点之间的距离与数x的点与数3的点之间的距离之差. 显然,我们易知,当x<-1时,距离之差为-4,当x>3时,距离之差为4,因此,x的取值必然满足-1≤x≤3. 我们不妨结合数轴分析,设A、B、P三点对应的数分别是-1、3、x.设P、A两点距离为a,则P、B两点距离为a-2,a+a-2=4,a=3,则x=-1+3=2. 解答: x=2 本讲思考题
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