通过以上探索我们可以发现,三角形内接正方形的边长与三角形的形状无关,其大小取决于三角形某边的长度以及该边上高的长度。
变式1:将数值用字母表示
由变式1和变式2的探索,我们可以发现,只要紧扣“相似三角形对应高之比等于相似比”,并利用方程思想设元,就可以将三角形内接正方形(矩形)问题迎刃而解。
变式3中通过反向延长AH,构造了X型背景下的相似三角形。变式3的解法2充分利用了A型及X型基本图形,再根据比例线段的中间比(AC:CD),借助方程思想,最终求得DG的长度。
变式4:三角形内接矩形的综合应用
变式4-1充分利用了相似三角形的性质,图中▲BDE,▲ABC,▲CGF两两相似,通过设DE=x,用含x的代数式,利用相似三角形对应边成比例的性质表示BE、CF的长度;同时利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,同样利用方程思想解决第二问。
变式4-2借助了A型图,利用了线段之间的比例关系。若将问题一般化,即将AB、ACn等分,则可以找到BnCn和BC之间的数量关系,即BnCn=(n/5)BC.
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