直角三角形在中考数学试题中占有着重要的地位,一般是与其它知识综合在一起考,比如可以与一次函数综合考,与二次函数综合考,与反比例函数综合考。今天我们详细说下,直角三角形的存在性问题
【引例】
1.已知:定点A(2,1),B(6,4)和动点M(m,0),存在点M使得△ABM为直角三角形,求点M的坐标.
【分析思路-几何法】--两线一圆得坐标
在平面直角坐标系遇到直角三角形的问题,通常是以直角顶点为分类标准进行讨论。如图所示:
当A为直角顶点时,过点A作AB的垂线交x轴的点即为所求点;
当B为直角顶点时,过点B作AB的垂线交x轴的点即为所求;
当以点M为直角顶点时,只用以AB为直径作圆与x轴的交点即为所求.
注意:当两直线垂直时,两直线的k值乘积为-1,通过求垂线的解析式再求出其与x轴的交点即可.
如何确定点的坐标--构造“K型”相似
根据Rt△ADB∽Rt△MCA,可得:BD/AC=AD/AC
解得:CM=3/4
∴OM=11/4∴M的坐标为(11/4,0)
根据Rt△AEB∽Rt△BFM,可得:AE/BF=BE/MF
解得:BF=3
∴OM=9
∴M的坐标为(9,0)
根据Rt△AGM∽Rt△MHB,可得:AG/MH=GM/BH
解得GM=2
∴M的坐标为(4,0)
【代数法】--利用勾股定理求解
其他两种情况,只需要将其中两条换成直角边,另外一边换成斜边即可解决
【解析法】--利用斜率的乘积等于-1求解
后面的例题我们尽量多讲解几何法,因为这是考察较多,也是较为方便的方法。
先从比较特殊的入手
【等腰直角三角形类】--构造“K”型全等
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=k1x+b的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点B,且与正比例函数y=kx的图象交点为C(3,4).求:
(1)求k值以及一次函数y=k1x+b的解析式;
(2)在第二象限是否存在点D,使得△DAB是等腰直角三角形,请求出点D的坐标;
【直角顶点位置确定】--在坐标轴上
2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(−1,0),C(0,-3),顶点为D.
(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标;
(2)在y轴上找一点P(点P与点C不重合),使得△APD为直角三角形,求点P坐标;
【直角顶点位置确定】--在抛物线上
3.在平面直角坐标系中,已知点A的坐标(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若过B点的直线与抛物线交于P,与y轴交于E,若BE=PE,求BP的长;
(3)如图2,在抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形,若存在,求P点的坐标,若不存在,说明理由。
图1 图2
【直角顶点位置确定】--在对称轴上
4.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上一动点,是否存在点P使△PBC为直角三角形?若存在,求出点P坐标,若不存在说明理由?
【直角顶点位置确定/不定】
【几何法】
(1)分直角顶点讨论
(2)两线一圆作出点的位置
(3)构造三垂直相似,利用对应边成比例求线段长度,进而确定点的坐标.
【代数法】
(1)表示点A、B、C坐标;
(2)根据两点距离公式,表示线段AB、AC、BC;
(3)分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²;
(4)代入列方程,求解,进而求出点的坐标.
【解析法】
利用斜率的乘积等于-1求解
当然,在实际应用中一般会综合几种方法的优点,这样可以起到事半功倍的效果.
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