【例题】已知正方形ABCD,Q为对角线BD上任意一点,∠QAP=45°(或QA⊥QE)
求证:① △QAE(PAE )是等腰直角三角形 方法一:
因为△APQ∽△BPE,所以A、B、E、Q四点共圆, ∠AEQ=∠ABQ=45°, 同时可得A、D、F、P共圆,FP⊥AE,PECFQ五点共圆
方法二:
由对称可知:AQ=CQ,∠BAQ=∠BCQ,在四边形ABEQ中:∠ABE+∠AQE=90°+90°=180° 又∠BAQ+∠BEQ=180°,所以∠QEC=∠BAQ=∠BCQ, 故QA=QC=QE
方法三:
作QM⊥BC于M,QG⊥AB于G ,易得BMQG为正方形, 由∠AQE=∠GQM=90°得∠AQG=∠EQM,又QG=QM, 所以△AQG≌△EQM,从而QA=QE, 同时可得:ME=MC
求证:③EB+DF=EF
依据SAS可得图中所示两个三角形全等,结论成立。 同时可得FA平分∠EFD,EA平分∠BEF
求证:④BE+BC=√2BQ
求证:⑤点A到EF的值为定值
方法一: 由AAS可得两个Rt三角形全等,所以AH=AD
方法二: 令AH=h,BE=x,DF=y,边长等于6
由面积法得:
由勾股定理得
即:36-xy=6(x+y)
求证:⑥ △EMN周长为定值
方法一:将△ABP沿AP翻折,对应点连接点Q,构造RT三角形
方法二:将△ADQ绕点A顺时针旋转90度,点D对应点连接点P,构造直角三角形。
若设BE=x,DF=y,正方形边长为a
同时可得S△EFC=xy,FC·EC=2BE·DF
求证:⑨ △AEF面积被BD平分
简证:△APQ∽△AFE,所以两个三角形面积比等于相似比的平方,又相似比=AQ:AE=1:√2,所以面积比为1:2,所以BD平分△AEF面积
求证:⑩ AE·AF=BD·EF
方法一
方法二
同时可证EF=√2PQ
小练习:
1.S正方形ABCD=BQ·DP
2.过点O垂直于BD于O,则PO-QO=DQ-PB
声明:这是一个半角模型典型例题,此题中结论参考了网络以及四川谢科安老师关于正方形内套45°角的探索。
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