【好题赏析】莆田市检卷八年级期末第25题

【专题系列】好题赏析，进阶学习！

（2017-2018学年上学期八年级期末莆田市检卷压轴题）

“攀峰随笔”公众号，微信号panfeng0077

【题目】

  赏   试 题 剖 析

1设计思路

（1）“操作”—“验证”

由△ABC为特定三角形（含22.5°的直角三角形），设置已知条件“∠A=90°，∠B=22.5°”得到∠C=67.5°，即有分割之法：（1）从大角∠A或∠C中截取部分角使它等于∠B，（2）验证另一个三角形为等腰三角形；

（2）“探究”—“生成”

到△ABC为不定三角形（含24°的三角形），利用上述方法进行构造符合条件的三角形；

（3）“猜想”—“结论”

到猜想发现一个三角形能分割成两个等腰三角形，需满足的条件.

2

设计方案

第1步，考生能通过角度的计算得出答案（知识储备“三角形的内角和”、“角的和差计算”），也可观察出这个图形的特殊性（22.5°---45°---67.5°---90°），从而得到图形美，规律美（22.5°---2×22.5°---3×22.5°---4×22.5°）.

第2步，旨在引导考生能在第1步的思路下，继续利用导角的方法解决，但又体现能力的提升，从已知最小内角的度数（∠B=24°）到利用两个等腰三角形之间关系，构造符合条件的三角形，从单纯考查的计算能力上升到分类讨论、构造作图，也可观察出这类图形具备的角度之间的特性。

第3步，从特殊到一般的，“定2个内角”——“定1个内角”——“一般性结论导出”体现这道试题思维的连贯性，做为压轴中的压轴，这一步还是有难度的，第一层，要能设元参数思想；第二层，要能从具体中去抽象，通过猜想去发现结论.

  析  解题思路（考查内容）

  第1步

思维入口一（以AC边构造等腰三角形）

验证可得

图1-1，图1-3中的D’与D”均不符合题意，只有图1-2成立.

思维入口二（以AB边构造等腰三角形）

验证可得

图1-4中的D’不符合题意.

思维入口三（以三边构造垂线平分线）

验证可得

图1-5、图1-6、图1-7中的D₁、D₂均符合题意，且图1-5与图1-6分割线为同一条，图1-7与图1-2分割线为同一条.

反思

以上两种分析分别从“以角的分割”，“以边的截取”的两种方法进行全面思考，虽然分析二分类繁杂，但我们应从不同角度全面思考，摆脱固定的思维模式，发现思维过程中的不足，完善思维的过程以及培养思维的严密性，养成从优从快的思维习惯，激发思维的创造性和灵活性，提高解题效率。

第2步

综上所得，满足条件的三角形的最大内角可能值是84°，90°，108°，117°.

第3步

具体分析详见公众号（并附微课堂）：

【数学美】探寻分割三角形之条件

   想  思维拓展

1

试题思考

若第2步中将条件弱化，结论会产生怎样的变化？挖掘在不同背景下，根据结论的演变，进行题目的创设。

示例：在△ABC中，∠ABC=24º，若一条直线恰好把原三角形分割成两个等腰三角形，求△ABC最大内角的所有可能值.

聪明的你不妨拿起笔来，分析、构图哟，相信你将会在探究中享受几何构图的乐趣！

请你解答后与攀老师留在文末的答案对照一下.

2

析题思考

（1）等腰三角形的存在性探究

①以边分类

如△ABC中，AB=AC,BA=BC或CA=CB.

②以角分类

如△ABC中，∠A=∠B,∠B=∠C或∠C=∠A.

（2）等腰三角形的作图探究

三种情况要全面（两圆一直线）

（附示例答案：

84°，90°，108°，117°，144°，148°）

公众号将陆续推出【好题赏析】专题系列！